Найдите производную функции y=30√4-3x в точке x0=-7

Dimon

18

Хорошо! Чтобы решить данную задачу, нам понадобится использовать правило дифференцирования сложной функции (chain rule) и правило дифференцирования функции с корнем.

Начнем с самого начала. У нас дана функция:

\[y = 30 \sqrt{4 - 3x}\]

Мы должны найти производную этой функции в точке \(x_0 = -7\). Давайте приступим к решению:

1. Возьмем производную функции \(y\) по переменной \(x\), используя правило сложной функции.

Для начала, обозначим \(f(x) = 4 - 3x\) как внутреннюю функцию и \(g(x) = 30\sqrt{x}\) как внешнюю функцию.

Применим правило дифференцирования сложной функции (chain rule):

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{df} \cdot \frac{df}{dx}\]

2. Теперь найдем производную внутренней функции \(f(x) = 4 - 3x\). Производная константы равна нулю, а производная одночлена равна коэффициенту при \(x\).

\[\frac{df}{dx} = -3\]

3. Теперь найдем производную внешней функции \(g(x) = 30\sqrt{x}\). Применим правило дифференцирования функции с корнем.

Для нахождения производной функции с корнем, давайте перепишем эту функцию в виде:

\[g(x) = 30 \cdot x^{\frac{1}{2}}\]

Теперь применим правило дифференцирования одночлена с показателем степени \(\frac{1}{2}\):

\[\frac{dg}{dx} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot x^{-\frac{1}{2}} = 15 \cdot x^{-\frac{1}{2}}\]

4. Подставим полученные значения производных в правило дифференцирования сложной функции:

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{df} \cdot \frac{df}{dx} = 15 \cdot x^{-\frac{1}{2}} \cdot (-3)\]

5. Теперь найдем производную в точке \(x_0 = -7\). Подставим значение \(x_0\) в выражение:

\[\frac{dy}{dx}\Bigr|_{x=-7} = 15 \cdot (-7)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-3)\]

6. Вычислим данное выражение:

\[\frac{dy}{dx}\Bigr|_{x=-7} = 15 \cdot \frac{1}{\sqrt{-7}} \cdot (-3)\]

Мы не можем получить действительное число для квадратного корня из отрицательного числа. Поэтому, ответ будет комплексным числом.

Таким образом, производная функции \(y = 30\sqrt{4 - 3x}\) в точке \(x_0 = -7\) равна:

\[\frac{dy}{dx}\Bigr|_{x=-7} = 15 \cdot \frac{1}{\sqrt{-7}} \cdot (-3)\]

Пожалуйста, проверьте правильность расчетов и в случае необходимости задавайте дополнительные вопросы!