Найдите производные данных функций (208—211). 208. а) Найдите производную функции f (x) = х²+x; б) Найдите производную

Осень_2450

3

208.
а) Чтобы найти производную функции \( f(x) = x^2 + x \), мы можем применить правило производной для суммы функций. Согласно этому правилу, производная суммы двух функций равна сумме их производных. Итак, давайте найдем производную каждого слагаемого по отдельности:

\[ f"(x) = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(x) \]

Производная функции \( x^2 \) равна \( 2x \), а производная функции \( x \) равна \( 1 \), так как это линейная функция. Теперь мы можем собрать все вместе:

\[ f"(x) = 2x + 1 \]

б) Теперь рассмотрим функцию \( f(x) = x^2 + 5x - 2 \). Мы должны найти производную каждого слагаемого и сложить их:

\[ f"(x) = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(-2) \]

Производная функции \( x^2 \) равна \( 2x \), производная функции \( 5x \) равна \( 5 \), а производная константы \( -2 \) равна \( 0 \). Теперь мы можем записать ответ:

\[ f"(x) = 2x + 5 \]

в) Функция \( f(x) = x^2 + 3x - 1 \) имеет следующую производную:

\[ f"(x) = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(3x) + \frac{d}{dx}(-1) \]

Производная функции \( x^2 \) равна \( 2x \), производная функции \( 3x \) равна \( 3 \), а производная константы \( -1 \) равна \( 0 \). Итак, производная функции \( f(x) \) будет:

\[ f"(x) = 2x + 3 \]

г) Наконец, функция \( f(x) = x + \sqrt{x} \) имеет производную:

\[ f"(x) = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) \]

Производная функции \( x \) равна \( 1 \), а производная корня из \( x \) равна \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \). Теперь мы можем записать ответ:

\[ f"(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}} \]

209.
а) Функция \( f(x) = x^3(4 + 2x - x^2) \) имеет производную:

\[ f"(x) = \frac{d}{dx}\left(x^3(4 + 2x - x^2)\right) \]

Чтобы найти производную произведения двух функций, мы должны использовать правило производной для произведения функций. Согласно этому правилу:

\[ \frac{d}{dx}(uv) = u"\cdot v + u \cdot v" \]

где \( u \) и \( v \) - две функции, а \( u" \) и \( v" \) - их производные. Применим это правило к нашей функции:

\[ f"(x) = \frac{d}{dx}(x^3) \cdot (4 + 2x - x^2) + x^3 \cdot \frac{d}{dx}(4 + 2x - x^2) \]

Производная функции \( x^3 \) равна \( 3x^2 \), а производная функции \( 4 + 2x - x^2 \) равна \( 2 - 2x \). Теперь мы можем записать ответ:

\[ f"(x) = 3x^2(4 + 2x - x^2) + x^3(2 - 2x) \]

б) Функция \( f(x) = \sqrt{x}(2x^2 - x) \) имеет производную:

\[ f"(x) = \frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}(2x^2 - x)\right) \]

Опять же, мы будем использовать правило производной для произведения функций:

\[ f"(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) \cdot (2x^2 - x) + \sqrt{x} \cdot \frac{d}{dx}(2x^2 - x) \]

Производная функции \( \sqrt{x} \) равна \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \), а производная функции \( 2x^2 - x \) равна \( 4x - 1 \). Теперь мы можем записать ответ:

\[ f"(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}(2x^2 - x) + \sqrt{x}(4x - 1) \]

в) Функция \( f(x) = x^2(3x + x^3) \) имеет производную:

\[ f"(x) = \frac{d}{dx}\left(x^2(3x + x^3)\right) \]

Применяя правило производной для произведения функций, получаем:

\[ f"(x) = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot (3x + x^3) + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(3x + x^3) \]

Производная функции \( x^2 \) равна \( 2x \), а производная функции \( 3x + x^3 \) равна \( 3 + 3x^2 \). Итак, производная функции \( f(x) \) будет:

\[ f"(x) = 2x(3x + x^3) + x^2(3 + 3x^2) \]

г) Наконец, функция \( f(x) = (2x - 3)(1 - x^3) \) имеет производную:

\[ f"(x) = \frac{d}{dx}\left((2x - 3)(1 - x^3)\right) \]

Применяя правило производной для произведения функций, получаем:

\[ f"(x) = \frac{d}{dx}(2x - 3) \cdot (1 - x^3) + (2x - 3) \cdot \frac{d}{dx}(1 - x^3) \]

Производная функции \( 2x - 3 \) равна \( 2 \), а производная функции \( 1 - x^3 \) равна \( -3x^2 \). Теперь мы можем записать ответ:

\[ f"(x) = 2(1 - x^3) + (2x - 3)(-3x^2) \]

210.
а) Чтобы найти производную функции \( y = \frac{1 + 2x}{3} - 5x \), мы можем применить правило производной для суммы и разности функций. Производная суммы (или разности) двух функций равна сумме (или разности) их производных. Итак, давайте найдем производные каждого слагаемого:

\[y" = \frac{d}{dx}\left(\frac{1 + 2x}{3}\right) - \frac{d}{dx}(5x)\]

Производная функции \(\frac{1 + 2x}{3}\) равна \(\frac{2}{3}\), так как константа \(\frac{1}{3}\) убывает при дифференцировании, и производная функции \(5x\) равна \(5\), так как это линейная функция. Теперь мы можем записать ответ:

\[y" = \frac{2}{3} - 5\]

б) Теперь рассмотрим функцию \(y = \frac{x^2}{2x - 1}\). Мы должны найти производную каждого слагаемого и поделить их:

\[y" = \frac{\frac{d}{dx}(x^2) \cdot (2x - 1) - x^2 \cdot \frac{d}{dx}(2x - 1)}{(2x - 1)^2}\]

Производная функции \(x^2\) равна \(2x\), а производная функции \(2x - 1\) равна \(2\). Теперь мы можем записать ответ:

\[y" = \frac{2x \cdot (2x - 1) - x^2 \cdot 2}{(2x - 1)^2}\]

в) Наконец, функция \(y = \frac{3x^2}{x}\) имеет производную:

\[y" = \frac{d}{dx}\left(\frac{3x^2}{x}\right)\]

Мы можем упростить это выражение, деля \(x^2\) на \(x\):

\[y" = \frac{d}{dx}(3x)\]

Производная функции \(3x\) равна \(3\). Теперь мы можем записать ответ:

\[y" = 3\]