Найдите пространственную проекцию вектора b на ось вектора a, если даны векторы а={1; 2; -1} и b={2

Радуга

45

Для начала нам нужно вычислить скалярное произведение векторов a и b. Скалярное произведение векторов определяется следующим образом:

\[ a \cdot b = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z \]

где \( a_x, a_y, a_z \) - компоненты вектора a, а \( b_x, b_y, b_z \) - компоненты вектора b.

Подставим значения в нашу формулу:

\[ a \cdot b = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 \]

Теперь найдем длину вектора a, используя формулу:

\[ |a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \]

Подставим значения:

\[ |a| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} \]

Вычислим:

\[ |a| = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \]

Теперь, чтобы найти пространственную проекцию вектора b на ось вектора a, мы должны использовать формулу:

\[ \text{Проекция} = \frac{a \cdot b}{|a|} \]

Подставим значения:

\[ \text{Проекция} = \frac{(1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 3)}{\sqrt{6}} \]

Вычислим:

\[ \text{Проекция} = \frac{2 - 2 - 3}{\sqrt{6}} = \frac{-3}{\sqrt{6}} \]

Таким образом, пространственная проекция вектора b на ось вектора a равна \( \frac{-3}{\sqrt{6}} \).