Найдите радиус окружности, описанной вокруг данного квадрата, если радиус вписанной окружности равен

Тарас

22

Хорошо, начнем с задачи на нахождение радиуса окружности, описанной вокруг квадрата, при условии, что радиус вписанной окружности равен \(r\). Давайте разберем эту задачу пошагово:

1. Вначале, давайте рассмотрим схему данной задачи:

\[
\begin{{array}}{{c}}
\text{{Вписанная окружность}} \\
\text{{с радиусом}}\ r \\
\end{{array}}
\hspace{{1cm}}
\begin{{array}}{{c}}
\text{{Квадрат}} \\
\text{{со стороной}}\ x \\
\end{{array}}
\hspace{{1cm}}
\begin{{array}}{{c}}
\text{{Описанная окружность}} \\
\text{{с радиусом}}\ R \\
\end{{array}}
\]

2. Выразим радиус вписанной окружности через сторону квадрата. Согласно геометрическим свойствам вписанной окружности, ее радиус равен половине длины стороны квадрата. Таким образом, \(r = \frac{{x}}{2}\).

3. Далее, найдем диагональ квадрата. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой равной диагонали и катетами равными стороне квадрата, справедлива следующая формула: \(d = x\sqrt{2}\), где \(d\) - длина диагонали.

4. Теперь обратимся к описанной окружности. Вспомним, что описанная окружность проходит через вершины квадрата. Таким образом, диаметр описанной окружности равен длине диагонали квадрата. В нашем случае это \(D = d = x\sqrt{2}\).

5. Используем свойство окружностей: диаметр описанной окружности равен удвоенному радиусу описанной окружности. Поэтому, \(D = 2R\).

6. Наконец, найдем радиус описанной окружности. Разделим уравнение \(D = 2R\) на 2, чтобы найти значение радиуса: \(R = \frac{{D}}{2} = \frac{{x\sqrt{2}}}{2}\).

Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг данного квадрата, при условии радиуса вписанной окружности \(r\) равен \(R = \frac{{x\sqrt{2}}}{2}\).

Пожалуйста, обратите внимание, что в данном случае мы предполагаем, что сторона квадрата \(x\) изначально известна. Если значения стороны квадрата уточняются в задаче, пожалуйста, укажите их для дальнейшего рассмотрения.