Каков диапазон значений переменной, при которых функция F(x)=x^2+4/x^2-10x-24 определена?

Valentina

47

Чтобы определить диапазон значений переменной \(x\), при которых функция \(F(x) = \frac{{x^2 + 4}}{{x^2 - 10x - 24}}\) определена, нам нужно исследовать область допустимых значений (ОДЗ) функции. ОДЗ - это множество значений переменной, при которых функция имеет смысл и не приводит к недопустимым операциям, таким как деление на ноль.

Для начала, давайте решим уравнение \(x^2 - 10x - 24 = 0\) для определения значений \(x\), которые делают знаменатель равным нулю. Мы можем использовать квадратное уравнение или факторизацию для этого.

Применим квадратное уравнение \(x^2 - 10x - 24 = 0\):

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

где у нас есть коэффициенты \(a = 1\), \(b = -10\) и \(c = -24\).

Подставим эти значения и решим уравнение:

\[x = \frac{{-(-10) \pm \sqrt{{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)}}}}{{2 \cdot 1}}\]

\[x = \frac{{10 \pm \sqrt{{100 + 96}}}}{2}\]

\[x = \frac{{10 \pm \sqrt{{196}}}}{2}\]

\[x = \frac{{10 \pm 14}}{2}\]

Теперь найдем значения \(x\):

\[x_1 = \frac{{10 + 14}}{2} = 12\]

\[x_2 = \frac{{10 - 14}}{2} = -2\]

Таким образом, мы обнаружили, что знаменатель \((x^2 - 10x - 24)\) обращается в ноль при \(x = 12\) и \(x = -2\).

Теперь, чтобы определить, при каких значениях \(x\) функция \(F(x)\) определена, мы исключим те значения, которые делают знаменатель равным нулю.

Знаменатель \(x^2 - 10x - 24\) является многочленом второй степени (квадратным трехчленом). Мы знаем, что квадратный трехчлен не может быть равен нулю при любом значении переменной \(x\). Поэтому интервалы, в которых функция \(F(x)\) определена, - это все значения \(x\), кроме тех, что мы нашли, то есть: \((- \infty, -2) \cup (-2, 12) \cup (12, + \infty)\).

Вот обоснование: функция \(F(x)\) будет определена для всех значений \(x\), за исключением \(x = 12\) и \(x = -2\), так как эти значения делают знаменатель равным нулю, что приводит к делению на ноль, что является недопустимой операцией.