За сколько времени температура воды в чайнике уменьшилась с 60° до 40°, после того как вода начала кипеть и чайник

Сабина

3

Для решения этой задачи, нам понадобится знание закона охлаждения Ньютона. Закон охлаждения утверждает, что скорость изменения температуры тела пропорциональна разности между температурой тела и окружающей среды. Формула выглядит следующим образом:

\[\frac{{dT}}{{dt}} = -k(T - T_{\text{{окр}}})\]

где:
\(T\) - температура воды в чайнике в определенный момент времени,
\(T_{\text{{окр}}}\) - температура окружающей среды,
\(\frac{{dT}}{{dt}}\) - скорость изменения температуры,
\(k\) - коэффициент пропорциональности.

В данной задаче, мы хотим найти время, за которое температура воды в чайнике уменьшилась с 60° до 40°, после того как чайник был выключен и вода начала остывать.

Для начала, нам нужно найти значение коэффициента \(k\). Это может быть сложной задачей, так как требует знания характеристик чайника и его окружения. Поэтому, предположим, что у нас нет информации о коэффициенте \(k\), и что мы знаем только начальную и конечную температуры воды.

Когда чайник был выключен, разность температур между водой и окружающей средой начала уменьшаться по закону охлаждения. Мы можем записать это так:

\[\frac{{dT}}{{dt}} = -k(T - T_{\text{{окр}}})\]

Интегрируя это дифференциальное уравнение, получим:

\[\int \frac{{dT}}{{T - T_{\text{{окр}}}}} = -k \int dt\]

\[\ln|T - T_{\text{{окр}}} | = -kt + C\]

где \(C\) - постоянная интегрирования.

Теперь, когда чайник был выключен, начальная температура воды равна 60°, а конечная температура равна 40°. Подставим эти значения в уравнение:

\[\ln|60 - T_{\text{{окр}}} | = -k \cdot 0 + C\]

\[\ln|40 - T_{\text{{окр}}} | = -k \cdot t + C\]

Теперь найдем константу интегрирования \(C\) с помощью начального условия. Мы знаем, что при \(t = 0\) температура воды равна 60°:

\[\ln|60 - T_{\text{{окр}}} | = C\]

Теперь подставим это значение для \(C\) обратно в уравнение:

\[\ln |40 - T_{\text{{окр}}} | = -k \cdot t + \ln |60 - T_{\text{{окр}}} | \]

Теперь избавимся от логарифмов, возведя обе части уравнения в экспоненту:

\[ |40 - T_{\text{{окр}}} | = e^{-kt} \cdot |60 - T_{\text{{окр}}} | \]

Так как мы знаем, что \(T_{\text{{окр}}} > 40\), мы можем записать:

\[ 40 - T_{\text{{окр}}} = e^{-kt} \cdot (60 - T_{\text{{окр}}} ) \]

Теперь решим это уравнение относительно времени \(t\):

\[ 40 - T_{\text{{окр}}} = 60e^{-kt} - e^{-kt} \cdot T_{\text{{окр}}} \]

Выражая \(e^{-kt}\) отдельно:

\[ 40 - T_{\text{{окр}}} = (60 - T_{\text{{окр}}})e^{-kt} \]

Теперь, деля обе части уравнения на \(60 - T_{\text{{окр}}}\):

\[ \frac{{40 - T_{\text{{окр}}}}}{{60 - T_{\text{{окр}}}}} = e^{-kt} \]

Возведем обе части уравнения в \(-1\), чтобы избавиться от отрицательного показателя степени:

\[ \left(\frac{{40 - T_{\text{{окр}}}}}{{60 - T_{\text{{окр}}}}}\right)^{-1} = e^{kt} \]

Подставим значения \(T_{\text{{окр}}}\) (например, 20°):

\[ \left(\frac{{40 - 20}}{{60 - 20}}\right)^{-1} = e^{kt} \]

\[ \left(\frac{{20}}{{40}}\right)^{-1} = e^{kt} \]

\[ 2 = e^{kt} \]

Теперь, возведем обе части уравнения в \(\ln\):

\[ \ln(2) = \ln(e^{kt}) \]

\[ \ln(2) = kt \]

Теперь, разделим обе части уравнения на \(k\):

\[ t = \frac{{\ln(2)}}{k} \]

Таким образом, мы нашли время \(t\), за которое температура воды в чайнике уменьшилась с 60° до 40° после того, как чайник был выключен и вода начала остывать. Окончательный ответ будет зависеть от значения коэффициента \(k\), который мы не знаем.