Найдите радиус внутренней и внешней окружностей треугольника с сторонами длиной 16 см

Лесной_Дух

64

Для начала, нам нужно вычислить полупериметр \( p \) треугольника. Полупериметр вычисляется по формуле:

\[ p = \frac{a + b + c}{2} \]

где \( a \), \( b \) и \( c \) - длины сторон треугольника. В данном случае все стороны имеют равную длину 16 см, поэтому полупериметр \( p \) будет:

\[ p = \frac{16 + 16 + 16}{2} = \frac{48}{2} = 24 \text{ см} \]

Далее нам нужно вычислить площадь треугольника по формуле Герона:

\[ S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)} \]

Подставим значения сторон и полупериметра в формулу:

\[ S = \sqrt{24 \cdot (24 - 16) \cdot (24 - 16) \cdot (24 - 16)} = \sqrt{24 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8} = \sqrt{12288} = 16\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

После этого мы можем вычислить радиус вписанной окружности по формуле:

\[ r = \frac{S}{p} \]

Подставляем значения площади и полупериметра:

\[ r = \frac{16\sqrt{3}}{24} = \frac{4\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1.15 \text{ см} \]

Теперь рассмотрим описанную окружность. Радиус описанной окружности равен половине произведения сторон треугольника, деленному на площадь треугольника:

\[ R = \frac{abc}{4S} \]

Подставляем значения стороны и площади треугольника:

\[ R = \frac{16 \cdot 16 \cdot 16}{4 \cdot 16\sqrt{3}} = \frac{4096}{64\sqrt{3}} = \frac{64}{\sqrt{3}} = \frac{64\sqrt{3}}{3} \approx 37.08 \text{ см} \]

Итак, радиус вписанной окружности треугольника равен примерно 1.15 см, а радиус описанной окружности - примерно 37.08 см.