Найдите радиусы окружности, вписанной в треугольник, и окружности, описанной вокруг треугольника, если известно

Андреевна_4366

26

Конечно, я могу помочь вам с этой задачей! Для начала вспомним, что в треугольнике, вписанном в окружность (ранобедренном треугольнике), биссектриса угла, образованного основанием треугольника, выходит из центра окружности и делит угол пополам.
Также, вокруг треугольника можно описать окружность, которая проходит через все вершины треугольника. Заметим, что центр описанной окружности лежит на перпендикулярной биссектрисе основания треугольника.

Для нашей задачи, давайте обозначим:
Радиус вписанной окружности как \(r\),
Радиус описанной окружности как \(R\).

Нам также известно, что основание ранобедренного треугольника равно 18 см, а боковая сторона равна 15 см.

Давайте начнем с вписанной окружности. Мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника, чтобы выразить радиус вписанной окружности через стороны треугольника:

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(p\) - полупериметр треугольника, \(a\), \(b\), \(c\) - стороны треугольника.

В данном случае, полупериметр \(p\) равен половине суммы сторон треугольника:

\[p = \frac{a + b + c}{2}\]

В нашем случае, \(a\) и \(b\) равны 15 см, а \(c\) равно основанию треугольника, то есть 18 см. Теперь мы можем вычислить полупериметр:

\[p = \frac{15 + 15 + 18}{2} = \frac{48}{2} = 24\]

Теперь, с помощью площади и полупериметра мы можем найти радиус вписанной окружности. Подставим значения в формулу:

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{24 \cdot (24-15) \cdot (24-15) \cdot (24-18)}\]

\[S = \sqrt{24 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 6} = \sqrt{7776} = 88,2\]

Итак, радиус вписанной окружности равен 88,2 см.

Теперь перейдем к описанной окружности. Заметим, что основание треугольника является диаметром описанной окружности. То есть:

\[c = 2R\]

Подставим значения:

\[18 = 2R\]

Разделим обе стороны на 2, чтобы найти радиус:

\[R = \frac{18}{2} = 9\]

Итак, радиус описанной окружности равен 9 см.

Надеюсь, ответ был достаточно подробным и понятным для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!