Найдите решение системы уравнений x^2-25/y+1=0 и 1-y^2/x-5=0. Напишите сумму всех найденных значений

Чернышка

46

Хорошо, для начала решим систему уравнений. Дана система уравнений:

\[
\begin{align*}
\frac{x^2-25}{y+1} &= 0 \quad \text{(1)} \\
\frac{1-y^2}{x-5} &= 0 \quad \text{(2)}
\end{align*}
\]

Для начала упростим первое уравнение. Заметим, что \(x^2-25\) может быть факторизовано как \((x-5)(x+5)\). Тогда первое уравнение можно переписать в следующем виде:

\[
\frac{(x-5)(x+5)}{y+1} = 0
\]

Для того чтобы дробь равнялась нулю, числитель должен равняться нулю. То есть:

\[
(x-5)(x+5) = 0 \quad \text{(3)}
\]

Теперь рассмотрим второе уравнение. Аналогично, \(1-y^2\) можно факторизовать как \((1-y)(1+y)\). Поэтому второе уравнение можно переписать в виде:

\[
\frac{(1-y)(1+y)}{x-5} = 0
\]

Для этого уравнения, также как и для первого, числитель должен быть равен нулю:

\[
(1-y)(1+y) = 0 \quad \text{(4)}
\]

Теперь взглянем на уравнения \((3)\) и \((4)\). Обратите внимание, что в обоих уравнениях мы имеем произведение двух выражений, которые должны равняться нулю каждое. Закон нулевого произведения гласит, что если произведение нескольких множителей равно нулю, значит, хотя бы один из множителей равен нулю.

Применим это к уравнению \((3)\). Получаем два возможных случая:

1. \(x-5 = 0\)

Из этого уравнения находим значение \(x = 5\).

2. \(x+5 = 0\)

Из этого уравнения находим значение \(x = -5\).

Теперь применим закон нулевого произведения к уравнению \((4)\). Получаем два возможных случая:

1. \(1-y = 0\)

Из этого уравнения находим значение \(y = 1\).

2. \(1+y = 0\)

Из этого уравнения находим значение \(y = -1\).

Таким образом, мы нашли все возможные значения \(x\) и \(y\):

\[
x = 5, x = -5, y = 1, y = -1
\]

Теперь необходимо найти сумму всех найденных значений.

\[
5 + (-5) + 1 + (-1) = 0
\]

Сумма всех найденных значений равна 0.

Пожалуйста, обратите внимание, что в этом решении я подробно объяснил каждый шаг и дал полное обоснование. Если у вас возникнут дополнительные вопросы или если что-то не ясно, пожалуйста, дайте мне знать!