Найдите решение уравнения 8sin^2x - 2√3cos(π/2 - x) - 9 = 0 на интервале [-5π/2

Solnce_V_Gorode

49

Давайте решим это уравнение пошагово и подробно. Первым шагом, давайте заменим \(\cos(\pi/2 - x)\), используя формулу синуса.

\(\cos(\pi/2 - x) = \sin(x)\)

Теперь уравнение принимает вид:

\(8\sin^2(x) - 2\sqrt{3}\sin(x) -9 = 0\)

Для удобства, давайте заменим \(\sin(x)\) переменной \(t\):

\(8t^2 - 2\sqrt{3}t - 9 = 0\)

Теперь у нас имеется квадратное уравнение, которое можно решить, используя дискриминант \(D\):

\[D = b^2 - 4ac = (-2\sqrt{3})^2 - 4(8)(-9) = 12 - (-288) = 300\]

Теперь, найдем значения \(t_1\) и \(t_2\) с помощью формулы для квадратного уравнения:

\[t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{300}}{16}\]

Так как нам надо найти решение на интервале \([-5\pi/2, 0]\), мы будем искать только значения \(t\) от -1 до 0, так как \(\sin(x)\) на данном интервале принимает значения в этом промежутке.

Теперь найдем значения \(t_1\) и \(t_2\):

\[t_1 = \frac{2\sqrt{3} + \sqrt{300}}{16} \approx 0.7466\]
\[t_2 = \frac{2\sqrt{3} - \sqrt{300}}{16} \approx -1.2466\]

Значение \(t_1\) находится в интервале от -1 до 0, значит оно нам подходит. Теперь найдем \(x\) из \(\sin(x) = t_1\):

\[x = \arcsin(t_1) + 2k\pi\]

где \(k\) - целое число.

Последний шаг - подставить \(t_1\) в уравнение и найти соответствующие значения \(x\):

\[x \approx \arcsin(0.7466) + 2k\pi \approx 0.8619 + 2k\pi\]

где \(k\) - целое число.

На интервале \([-5\pi/2, 0]\) корни данного уравнения будут:

\[x_1 \approx 0.8619, x_2 \approx 0.8619 + 2\pi, x_3 \approx 0.8619 + 4\pi, x_4 \approx 0.8619 + 6\pi, ...\]

Надеюсь, этот подробный ответ позволяет понять, как было найдено решение данного уравнения на заданном интервале.