Найдите скорость каждого велосипедиста. Какая скорость у первого велосипедиста, если он проехал трассу на 20 минут

Ledyanaya_Pustosh

70

Эту задачу можно решить с помощью алгебраических методов. Давайте рассмотрим каждое уравнение по очереди и найдем значение скорости для каждого велосипедиста.

1) Начнем с первого уравнения:
\(\frac{x}{20} - \frac{x+2}{20} = 20\)

Сначала упростим уравнение, вычитая дроби с общим знаменателем:

\(\frac{x - x - 2}{20} = 20\)

Получаем:

\(\frac{-2}{20} = 20\)

На данном шаге мы сталкиваемся с противоречием: \(-2\) не равно \(20\). Значит, это уравнение не имеет решения.

2) Теперь перейдем ко второму уравнению:
\(\frac{20}{x} - \frac{20}{x+2} = 20\)

Упростим уравнение, вычитая дроби с общим знаменателем:

\(\frac{(20(x+2)) - (20x)}{x(x+2)} = 20\)

Раскроем скобки в числителе:

\(\frac{20x + 40 - 20x}{x(x+2)} = 20\)

Получаем:

\(\frac{40}{x(x+2)} = 20\)

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на \(x(x+2)\):

\(40 = 20x(x+2)\)

Раскроем скобки в правой части уравнения:

\(40 = 20x^2 + 40x\)

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим:

\(20x^2 + 40x - 40 = 0\)

Разделив все члены на 20, получим квадратное уравнение:

\(x^2 + 2x - 2 = 0\)

Чтобы решить это квадратное уравнение, можно воспользоваться формулой дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -2\)

\(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12\)

Поскольку дискриминант \(D\) положительный, у нас есть два корня:

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{12}}{2\cdot1} = \frac{-2 + 2\sqrt{3}}{2} = -1 + \sqrt{3}\)
\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{12}}{2\cdot1} = \frac{-2 - 2\sqrt{3}}{2} = -1 - \sqrt{3}\)

Значение скорости не может быть отрицательным, поэтому в данной задаче мы рассматриваем только положительные значения. Таким образом, значением скорости первого велосипедиста будет \(x_1 = -1 + \sqrt{3}\).

3) Перейдем к третьему уравнению:
\(\frac{20}{x+2} - \frac{20}{x} = \frac{1}{3}\)

Упростим уравнение, вычитая дроби с общим знаменателем:

\(\frac{(20x) - (20(x+2))}{x(x+2)} = \frac{1}{3}\)

Раскроем скобки в числителе:

\(\frac{20x - 20x - 40}{x(x+2)} = \frac{1}{3}\)

Получаем:

\(\frac{-40}{x(x+2)} = \frac{1}{3}\)

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на \(3x(x+2)\):

\(-120 = x(x+2)\)

Раскроем скобки в правой части уравнения:

\(-120 = x^2 + 2x\)

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим:

\(x^2 + 2x + 120 = 0\)

Это квадратное уравнение не имеет действительных корней, поэтому в данной задаче уравнение не имеет решений.

4) Наконец, рассмотрим четвертое уравнение:
\(\frac{20}{x} - \frac{2x}{x+2}\)

Упростим уравнение, находим общий знаменатель:

\(\frac{20(x+2) - 2x}{x(x+2)}\)

Раскроем скобки в числителе:

\(\frac{20x + 40 - 2x}{x(x+2)}\)

Сократим подобные члены:

\(\frac{18x + 40}{x(x+2)}\)

Здесь мы не можем решить уравнение, так как векторы скорости двух велосипедистов должны быть разными, и не может быть, чтобы скорость первого велосипедиста была равна скорости второго велосипедиста.

Таким образом, мы нашли, что значение скорости первого велосипедиста равно \(x_1 = -1 + \sqrt{3}\), а для второго велосипедиста у нас нет решения, так как уравнения 1), 3) и 4) не имеют решений.