Найдите соотношение площадей двух прямоугольных треугольников с углом 30°, если катеты этих треугольников относятся

Plyushka

54

Конечно! Давайте рассмотрим каждый из трех возможных вариантов по очереди.

1. В первом случае пусть катеты прямоугольных треугольников имеют длины 1 и 2. Так как угол между катетами равен 30°, мы можем использовать формулу площади треугольника \(S = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin C\), где \(a\) и \(b\) - длины катетов, а \(C\) - угол между катетами.

Для первого треугольника площадь будет равна:

\[S_1 = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 \times \sin 30°\]

Синус 30° равен 0.5, поэтому мы можем заменить его:

\[S_1 = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 \times 0.5 = 0.5\]

Теперь рассмотрим второй треугольник, где катеты имеют длины 2 и 4:

\[S_2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 \times \sin 30°\]
\[S_2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 \times 0.5 = 2\]

Итак, площади первого и второго треугольников равны 0.5 и 2 соответственно.

2. Во втором случае пусть катеты имеют длины 2 и 4. Применяем ту же формулу:

\[S_1 = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 \times \sin 30°\]
\[S_1 = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 \times 0.5 = 2\]

\[S_2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 8 \times \sin 30°\]
\[S_2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 8 \times 0.5 = 8\]

Теперь площади первого и второго треугольников равны 2 и 8 соответственно.

3. В третьем случае катеты прямоугольных треугольников имеют длины 3 и 6:

\[S_1 = \frac{1}{2} \times 3 \times 6 \times \sin 30°\]
\[S_1 = \frac{1}{2} \times 3 \times 6 \times 0.5 = 4.5\]

\[S_2 = \frac{1}{2} \times 6 \times 12 \times \sin 30°\]
\[S_2 = \frac{1}{2} \times 6 \times 12 \times 0.5 = 18\]

Таким образом, площади первого и второго треугольников равны 4.5 и 18 соответственно.

Так как мы рассмотрели все три возможных варианта, можно сделать вывод, что соотношения площадей треугольников с углом 30° и катетами, относящимися как 1:2, равны:

1:4 для первого варианта
1:8 для второго варианта
1:18 для третьего варианта

Я надеюсь, что объяснение и пошаговое решение помогли вам понять данную задачу. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать!