Найдите сумму координат точки пересечения диагоналей параллелограмма, если известны координаты его вершин: A(-4

Evgenyevna

20

Для решения этой задачи, мы можем использовать свойства параллелограмма. Одно из таких свойств гласит, что диагонали параллелограмма делятся пополам. Это значит, что точка пересечения диагоналей будет являться серединой каждой из диагоналей параллелограмма.

Для начала, нам нужно найти координаты середины каждой диагонали. Для нахождения середины отрезка, мы можем использовать формулу:

\[x_{\text{сер}} = \frac{x_1 + x_2}{2}\]
\[y_{\text{сер}} = \frac{y_1 + y_2}{2}\]
\[z_{\text{сер}} = \frac{z_1 + z_2}{2}\]

Где \(x_{\text{сер}}, y_{\text{сер}}, z_{\text{сер}}\) - координаты середины отрезка, а \(x_1, y_1, z_1\) и \(x_2, y_2, z_2\) - координаты концов отрезка.

Теперь давайте найдем координаты середины первой диагонали:

\[x_{\text{сер1}} = \frac{-4 + 3}{2} = -\frac{1}{2}\]
\[y_{\text{сер1}} = \frac{-4 + (-6)}{2} = -5\]
\[z_{\text{сер1}} = \frac{-2 + 1}{2} = -\frac{1}{2}\]

Теперь найдем координаты середины второй диагонали:

\[x_{\text{сер2}} = \frac{3 + 0}{2} = \frac{3}{2}\]
\[y_{\text{сер2}} = \frac{-4 + 0}{2} = -2\]
\[z_{\text{сер2}} = \frac{-2 + 4}{2} = 1\]

Таким образом, координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма будут \(P\left(-\frac{1}{2}, -5, -\frac{1}{2}\right)\) и \(P\left(\frac{3}{2}, -2, 1\right)\).

Теперь осталось найти сумму координат точки пересечения диагоналей. Для этого сложим соответствующие координаты:

\[x_{P} = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 1\]
\[y_{P} = -5 + (-2) = -7\]
\[z_{P} = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}\]

Итак, сумма координат точки пересечения диагоналей параллелограмма равна \(P(1, -7, \frac{1}{2})\).