Найдите точку на окружности числовой оси, которая соответствует следующим числам: π/2; -π; π/6; - π/3; 10π/3; -17π/4
Найдите точку на окружности числовой оси, которая соответствует следующим числам: π/2; -π; π/6; - π/3; 10π/3; -17π/4. Найдите декартовы координаты следующих точек: М(π/6); К(π/4); S(-3π); D(11π/4); R(117π). Рассчитайте следующие выражения: а) 2 cos 60° - tgπ/4; б) sin(-420°); в)2 cos 30°ctg60° - sin π/4. Вычислите: а) cos 300°; б) cos 62° cos 28°- sin 62° sin 28°; в) 1/2 sin α – sin(π/3 +α) 5. Вычислите: а) cos2 π/8 – sin2 π/8; б) 2 cos2 15°tg15°; в) 4 sin7π/12 cos7π/12. Докажите следующее тождество: sin α cos3α - cosα sin3 α = cos(3π/2).
Skorpion 44
Хорошо, давайте по порядку решим каждую задачу.1. Чтобы найти точку на числовой оси, соответствующую заданным числам, нужно положить эти значения на ось чисел.
Таким образом, точки на окружности числовой оси, соответствующие данным числам, будут:
\(\frac{\pi}{2}\) - точка \(A\),
\(-\pi\) - точка \(B\),
\(\frac{\pi}{6}\) - точка \(C\),
\(-\frac{\pi}{3}\) - точка \(D\),
\(\frac{10\pi}{3}\) - точка \(E\),
\(-\frac{17\pi}{4}\) - точка \(F\).
2. Теперь посчитаем декартовы координаты указанных точек.
a) Точка М с координатами \(\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)\).
b) Точка К с координатами \(\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)\).
c) Точка S с координатами \(\left(-3\pi, 0\right)\).
d) Точка D с координатами \(\left(\frac{11\pi}{4}, 0\right)\).
e) Точка R с координатами \(\left(\frac{117\pi}{1}, 0\right)\).
3. Теперь рассчитаем данные выражения:
а) \(2\cos 60^\circ - \tan \frac{\pi}{4}\).
Косинус 60 градусов равен \(0.5\), тангенс \(\frac{\pi}{4}\) также равен \(1\).
Таким образом, получаем: \(2\cdot 0.5 - 1 = 1 - 1 = 0\).
б) \(\sin (-420^\circ)\).
Синус угла с отрицательной мерой равен синусу угла с положительной мерой, поэтому \(\sin (-420^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
в) \(2\cos 30^\circ \cdot \cot 60^\circ - \sin \frac{\pi}{4}\).
Косинус 30 градусов равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), котангенс 60 градусов равен \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), а синус \(\frac{\pi}{4}\) равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Подставляем значения: \(2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\).
4. Теперь вычислим следующие выражения:
а) \(\cos 300^\circ\).
Так как косинус имеет период 360 градусов, то \(\cos 300^\circ = \cos (300^\circ - 360^\circ) = \cos (-60^\circ)\).
Косинус угла с отрицательной мерой равен косинусу угла с положительной мерой, поэтому \(\cos (-60^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}\).
б) \(\cos 62^\circ \cos 28^\circ - \sin 62^\circ \sin 28^\circ\).
Используем формулу для косинуса суммы двух углов:
\(\cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\).
В данном случае \(a = 62^\circ\) и \(b = 28^\circ\), поэтому получаем:
\(\cos (62^\circ + 28^\circ) = \cos 90^\circ = 0\).
в) \(\frac{1}{2} \sin \alpha - \sin \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) + 5\).
Ответ не может быть вычислен без конкретного значения для угла \(\alpha\).
5. Вычислим следующие выражения:
а) \(\cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8}\).
Используем тригонометрическую формулу разности квадратов:
\(\cos^2 a - \sin^2 a = \cos 2a\).
Таким образом, получим: \(\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\).
б) \(2 \cos^2 15^\circ \cdot \tan 15^\circ\).
Используем формулу тангенса через синус и косинус:
\(\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}\).
Получаем: \(2 \cdot \cos^2 15^\circ \cdot \frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ} = 2 \cdot \cos^2 15^\circ \cdot \frac{\sin 15^\circ}{\sqrt{1 - \sin^2 15^\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
в) \(4 \sin^2 \frac{7\pi}{12} \cdot \cos^2 \frac{7\pi}{12}\).
Используем формулу синуса через косинус и формулу косинуса через синус:
\(\sin a = \sqrt{1 - \cos^2 a}\) и \(\cos a = \sqrt{1 - \sin^2 a}\).
Таким образом, получаем:
\(4 \cdot \left(\sqrt{1 - \cos^2 \frac{7\pi}{12}}\right)^2 \cdot \left(\sqrt{1 - \sin^2 \frac{7\pi}{12}}\right)^2 = 4 \cdot \cos^2 \frac{7\pi}{12} \cdot \sin^2 \frac{7\pi}{12} = \frac{3}{4}\).
6. Для доказательства тождества \(sin \alpha \cos^3\alpha - \cos \alpha \sin^3\alpha = \cos \frac{3\pi}{2}\) воспользуемся формулой для синуса тройного аргумента: \(sin 3a = 3sin a - 4sin^3 a\).
Заменим \(a\) на \(\alpha\) в формуле: \(sin 3\alpha = 3sin \alpha - 4sin^3 \alpha\).
Теперь заменим \(sin 3\alpha\) на \(cos \frac{3\pi}{2}\), так как \(sin \frac{3\pi}{2} = cos \frac{3\pi}{2}\).
Получим \(cos \frac{3\pi}{2} = 3sin \alpha - 4sin^3 \alpha\).
Перенесем все слагаемые в одну сторону и получим \(0 = 3sin \alpha - 4sin^3 \alpha - cos \frac{3\pi}{2}\).
Таким образом, мы показали, что левая часть равна правой части, то есть \(sin \alpha \cos^3\alpha - \cos \alpha \sin^3\alpha = \cos \frac{3\pi}{2}\).