Найдите три числа, сумма которых равна 13, и они образуют прогрессию. Если ко второму числу добавить 2, то полученные

Радуга_4550

35

Для решения данной задачи нам необходимо найти три числа, которые образуют прогрессию и сумма которых равна 13. Также нам известно, что если ко второму числу добавить 2, то полученные числа образуют арифметическую прогрессию. Давайте рассмотрим эту задачу пошагово.

Пусть первое число в прогрессии обозначено как \(a\), второе число как \(b\), а третье число как \(c\).

Из условия задачи мы знаем, что \(a + b + c = 13\) (сумма трёх чисел равна 13).

Также нам известно, что если ко второму числу добавить 2, то полученные числа образуют арифметическую прогрессию. Это означает, что разность между вторым и первым числом равна разности между третьим и вторым числом. Математически это можно записать так: \((b + 2) - b = c - (b + 2)\).

Теперь мы можем составить систему уравнений на основе этих условий:

\[
\begin{align*}
a + b + c &= 13 \\
(b + 2) - b &= c - (b + 2)
\end{align*}
\]

Давайте решим эту систему уравнений. Раскроем скобки во втором уравнении:

\[
\begin{align*}
a + b + c &= 13 \\
2 &= c - b - 2
\end{align*}
\]

Упростим второе уравнение:

\[
2 = c - b - 2 \Rightarrow 4 = c - b
\]

Теперь мы можем представить \(c\) через \(b\):

\[c = b + 4\]

Вернемся к первому уравнению:

\[
\begin{align*}
a + b + c &= 13 \\
a + b + (b + 4) &= 13 && \text{Подставим выражение для } c. \\
a + 2b + 4 &= 13 && \text{Сгруппируем слагаемые.} \\
a + 2b &= 9 && \text{(1)}
\end{align*}
\]

Теперь, используя уравнение (1), мы можем выразить \(a\) через \(b\). Добавим уравнение (1) и \(b\) друг к другу:

\[
\begin{align*}
a + 2b &= 9 \\
a &= 9 - 2b
\end{align*}
\]

Теперь у нас есть выражения для \(a\) и \(c\) через \(b\): \(a = 9 - 2b\) и \(c = b + 4\).

Чтобы найти конкретные значения чисел, подставим эти выражения обратно в первое уравнение:

\[
\begin{align*}
a + b + c &= 13 \\
(9 - 2b) + b + (b + 4) &= 13 \\
9 - 2b + b + b + 4 &= 13 \\
14 - b &= 13 \\
-b &= 13 - 14 \\
-b &= -1 \\
b &= 1
\end{align*}
\]

Таким образом, мы нашли значение второго числа: \(b = 1\). Подставим \(b = 1\) в выражения для \(a\) и \(c\):

\[
\begin{align*}
a &= 9 - 2b \\
a &= 9 - 2 \cdot 1 \\
a &= 9 - 2 \\
a &= 7
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
c &= b + 4 \\
c &= 1 + 4 \\
c &= 5
\end{align*}
\]

Итак, три числа, которые образуют прогрессию, сумма которых равна 13, и если ко второму числу добавить 2, то полученные числа образуют арифметическую прогрессию, равны 7, 1 и 5 соответственно.