Найдите все значения k, для которых выполняется равенство ab-ba=k(a-b), где ab - двузначное целое число с различными

Эльф

41

Хорошо, давайте решим эту задачу. У нас дано равенство \(ab-ba=k(a-b)\), где \(ab\) - двузначное целое число с различными ненулевыми цифрами.

Давайте разберемся с этим пошагово.

1. Вначале раскроем скобки в равенстве \(k(a-b)\):
\[ab-ba=k(a-b)\]
Раскроем скобки:
\[ab-ba=ka-kb\]

2. Теперь сгруппируем похожие слагаемые:
\[ab+kb-ba-ka=0\]

3. Обратим внимание на два слагаемых: \(ab\) и \(-ba\). Эти два слагаемых можно переписать как \(10a+b\) и \(-10b-a\). Теперь заменим их в равенстве:
\[10a+b+kb-10b-a=0\]

4. Сгруппируем похожие слагаемые:
\[9a+(k-9)b=0\]

5. Зададим условие, что \(ab\) - двузначное целое число с различными ненулевыми цифрами. Это означает, что \(a\) и \(b\) должны быть различными цифрами от 1 до 9 (0 не подходит, так как двузначное число не может начинаться с нуля).

6. Итак, у нас есть уравнение: \(9a+(k-9)b=0\), где \(a\) и \(b\) - различные цифры от 1 до 9.

7. Для того, чтобы равенство выполнялось, левая часть уравнения должна быть равна нулю. То есть, \(9a+(k-9)b=0\).

8. Посмотрим на возможные значения \(k\) и найдем значения \(a\) и \(b\), при которых выполняется \(9a+(k-9)b=0\).

9. Если у нас \(k = 9\), то уравнение превращается в \(9a=0\), и единственное возможное значение для \(a\) - это 0. Но мы исключили 0 из рассмотрения, так что это значение не подходит.

10. Если \(k \neq 9\), то можно разделить уравнение на \(k-9\): \(\frac{{9a}}{{k-9}} + b = 0\). Выразим \(a\) через \(b\): \(a = -\frac{{b}}{{\frac{{9}}{{k-9}}}}\).

11. Теперь подставим возможные значения \(b\) от 1 до 9 и найдем соответствующие значения \(a\).

- При \(b = 1\): \(a = -\frac{{1}}{{\frac{{9}}{{k-9}}}}\).
- При \(b = 2\): \(a = -\frac{{2}}{{\frac{{9}}{{k-9}}}}\).
- ...
- При \(b = 8\): \(a = -\frac{{8}}{{\frac{{9}}{{k-9}}}}\).
- При \(b = 9\): \(a = -\frac{{9}}{{\frac{{9}}{{k-9}}}}\).

12. Теперь найдем все возможные значения \(k\), для которых равенство выполняется. Если существует хотя бы одно значени \(a\), при котором выполняется \(ab-ba=k(a-b)\), то значение \(k\) будет соответствовать этому значению \(a\). Если для какого-то значения \(a\) не существует соответствующего значения \(b\), то это значение \(a\) не подходит.

Таким образом, мы можем найти все возможные значения \(k\) путем использования каждого значения \(a\) и нахождения соответствующего значения \(b\).