Каково минимальное число ребер в графе с 20 вершинами, так что при удалении любых двух ребер не будет больше двух

Zhuravl

56

Чтобы решить эту задачу, давайте изучим условие более подробно. Нам нужно определить минимальное количество ребер в графе с 20 вершинами, таким образом, чтобы любые два удаленных ребра не приводили к большему количеству связных компонентов, чем две.

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться понятием деревьев. В графе с 20 вершинами, дерево - это связный граф, не содержащий циклов. Мы также знаем, что любое дерево с \(n\) вершинами содержит ровно \(n-1\) ребер.

Теперь давайте предположим, что в нашем графе содержится компонента связности, состоящая из двух вершин \(A\) и \(B\). Если мы удалим ребро, соединяющее эти две вершины, то граф разобьется на две отдельные компоненты связности. Теперь нам нужно добавить еще одно ребро, чтобы вновь объединить эти две компоненты в одну. Таким образом, минимальное количество ребер между двумя вершинами для этого условия равно 2.

Исходя из этого соображения, для \(k\) компонент связности нам потребуется \((k-1) \cdot 2\) ребер. Поскольку нам нужно, чтобы граф имел не более двух связных компонентов для любого удаления двух ребер, мы можем выразить это неравенство:

\[(k-1) \cdot 2 \geq 20-1\]
\[(k-1) \cdot 2 \geq 19\]

Как видим, минимальное количество связей, удовлетворяющих условия задачи, составляет 19. Это получается, когда существует только одна связная компонента.

Таким образом, минимальное количество ребер в графе с 20 вершинами, чтобы удаление любых двух ребер не приводило к большему количеству связных компонентов, чем две, равно 19.