Найдите все значения уравнения 4 * 16^sin^2x - 6 * 4^cos2x = 29 на интервале [3п/2; 3п] и объясните, если возможно

Putnik_S_Zvezdoy

40

Для решения данной задачи, нам потребуется применить несколько математических преобразований. Давайте начнем с пошагового решения:

Шаг 1: Замените \(4^x\) на \((2^2)^x\) и \(16^x\) на \((2^4)^x\), чтобы привести основания степеней к одному значению.
Таким образом, уравнение примет вид:
\[4 \cdot 2^{2 \sin^2x} - 6 \cdot (2^2)^{\cos2x} = 29\]

Шаг 2: Примените свойства степеней и упростите выражение под знаком степени:
\[4 \cdot 2^{2 \sin^2x} - 6 \cdot 2^{2 \cos2x} = 29\]

Шаг 3: Преобразуйте \(2^{2 \sin^2x}\) и \(2^{2 \cos2x}\) в вид \(2^{a^2}\), чтобы облегчить решение уравнения.
Таким образом, пусть \(a = \sin^2x\) и \(b = \cos2x\).

Шаг 4: Замените переменные \(a\) и \(b\) в уравнении:
\[4 \cdot 2^a - 6 \cdot 2^b = 29\]

Шаг 5: Теперь у нас есть уравнение в двух переменных \(a\) и \(b\), давайте решим его.
Можно заметить, что \(2^a\) и \(2^b\) являются положительными числами, следовательно, определено минимальное значение для \(4 \cdot 2^a - 6 \cdot 2^b\).

Нам дано, что уравнение ищется на интервале \([3\pi/2; 3\pi]\),
перейдем от \(x\) к \(a\) и \(b\): \(\frac{3\pi}{2} \leq x \leq 3\pi\)

Так как \(a = \sin^2x\) и \(b = \cos2x\), мы можем использовать данное значение для интервала и найти значения \(a\) и \(b\).

Шаг 6: Решим систему уравнений:
\[\frac{3\pi}{2} \leq x \leq 3\pi\]
\[\sin^2x = a\]
\[\cos2x = b\]

Подставим пределы интервала в систему уравнений и найдем значения \(a\) и \(b\):
\[\frac{3\pi}{2} \leq x \leq 3\pi\]
\[\sin^2x = a\]
\[\cos2x = b\]

\(\frac{3\pi}{2} \leq x \leq 3\pi\) соответствует \(\frac{\pi}{2} \leq x \leq \pi\), так как \(\sin^2x\) и \(\cos2x\) имеют периоды \(\pi\) и \(\frac{\pi}{2}\) соответственно.

При \(x = \pi\) имеем \(\sin^2x = 0\) и \(\cos2x = 1\), тогда \(a = 0\) и \(b = 1\).

Подставим значения \(a = 0\) и \(b = 1\) обратно в уравнение:
\[4 \cdot 2^a - 6 \cdot 2^b = 29\]

Получаем:
\[4 \cdot 2^0 - 6 \cdot 2^1 = 29\]
\[4 \cdot 1 - 6 \cdot 2 = 29\]
\[4 - 12 = 29\]
\[-8 \neq 29\]

Таким образом, на заданном интервале \([3\pi/2; 3\pi]\) уравнение \(4 \cdot 16^{\sin^2x} - 6 \cdot 4^{\cos2x} = 29\) не имеет решений.

Аналогично можно проанализировать и другие интервалы, чтобы определить, есть ли еще значения переменных \(a\) и \(b\), удовлетворяющих уравнению.