Найдите высоту и площадь боковой поверхности пирамиды, если она основана на ромбе со стороной 8 см и острым углом

Амина

17

Для нахождения высоты и площади боковой поверхности пирамиды сначала определим её параметры.

Ромб со стороной 8 см и острым углом 30° можно представить как два равнобедренных треугольника, у которых каждая сторона равна 8 см, а угол между этими сторонами составляет 30°.

Поскольку ромб является основанием пирамиды, его диагонали являются боковыми рёбрами пирамиды. Таким образом, у пирамиды имеются два боковых ребра длиной 8 см.

Для определения высоты пирамиды можно провести линию из вершины ромба до основания, перпендикулярную плоскости основания. Так как боковые грани пирамиды образуют углы по 60° с плоскостью основания, получаем прямоугольный треугольник с катетами, равными половине диагоналей ромба.

Делая прямоугольный треугольник со сторонами 8 см, 4 см и гипотенузой (высотой пирамиды), можем применить теорему Пифагора:

\[a^2 + b^2 = c^2,\]

где \(a\) и \(b\) — катеты прямоугольного треугольника, а \(c\) — его гипотенуза (высота пирамиды).

В данном случае \(a = 4\) см, \(b = 8\) см, ищем \(c\):

\[4^2 + 8^2 = c^2.\]

\[16 + 64 = c^2.\]

\[80 = c^2.\]

\[c = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \approx 8.94\] (округляем до двух знаков после запятой).

Таким образом, высота пирамиды составляет \(4\sqrt{5}\) см.

Для нахождения площади боковой поверхности пирамиды, нам необходимо найти площадь каждой боковой грани и сложить их.

Боковые грани пирамиды представляют собой равнобедренные треугольники с высотами, равными высоте пирамиды (так как они перпендикулярны плоскости основания) и основаниями, равными сторонам ромба.

Площадь треугольника можно найти, зная его основание и высоту, по формуле:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h,\]

где \(S\) — площадь треугольника, \(a\) — длина основания, \(h\) — высота треугольника.

Так как сторона ромба равна 8 см, а высота пирамиды равна \(4\sqrt{5}\) см, площадь каждой боковой грани будет:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{5} = 16\sqrt{5}.\]

Так как пирамида имеет 4 боковые грани, площадь боковой поверхности будет:

\[S_{\text{бок}} = 4 \cdot 16\sqrt{5} = 64\sqrt{5}.\]

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна \(64\sqrt{5}\) квадратных сантиметров.