Найдите значение косинуса угла между линиями AC и BD, при условии что координаты точек A(5; -2); B(3; 8); C(0

Елисей

19

Чтобы найти значение косинуса угла между линиями AC и BD, нам понадобится использовать уравнения этих линий. Давайте начнем с вычисления углового коэффициента каждой линии.

Угловой коэффициент между двумя точками на плоскости можно найти, используя формулу \(m = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\), где \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) - координаты двух точек.

Для линии AC координаты точек A и C равны:
\(A(5, -2)\); \(C(0, 7)\).

Используя формулу углового коэффициента, можно получить:
\(m_{AC} = \frac{{7 - (-2)}}{{0 - 5}} = \frac{{9}}{{-5}}\).

Теперь перейдем к линии BD. Координаты точек B и D равны:
\(B(3, 8)\); \(D(-5, 1)\).

Используя формулу углового коэффициента, можно получить:
\(m_{BD} = \frac{{1 - 8}}{{-5 - 3}} = \frac{{-7}}{{-8}} = \frac{{7}}{{8}}\).

Чтобы найти косинус угла между линиями, мы можем использовать связь между угловым коэффициентом и косинусом угла. Для этого можно воспользоваться следующей формулой:
\[\cos(\theta) = \frac{{m_1 - m_2}}{{1 + m_1 \cdot m_2}}\],

где \(m_1\) и \(m_2\) - угловые коэффициенты линий AC и BD соответственно.

Подставим полученные значения угловых коэффициентов линий AC и BD в формулу для косинуса:
\[\cos(\theta) = \frac{{\frac{{9}}{{-5}} - \frac{{7}}{{8}}}}{{1 + \frac{{9}}{{-5}} \cdot \frac{{7}}{{8}}}}\].

Решив эту формулу, получим значение косинуса угла между линиями AC и BD.

\[\cos(\theta) = \frac{{\frac{{9}}{{-5}} - \frac{{7}}{{8}}}}{{1 + \frac{{9}}{{-5}} \cdot \frac{{7}}{{8}}}} = \frac{{-\frac{{69}}{{40}}}}{{-\frac{{11}}{{40}}}} = \frac{{69}}{{11}}\].

Таким образом, значение косинуса угла между линиями AC и BD равно \(\frac{{69}}{{11}}\).