Найдите значение косинуса угла между плоскостями BDC и BDA1 для куба ABCDA1B1C1D1, где сторона куба равна

Янгол

69

Для решения данной задачи нам понадобится знание геометрии и векторного анализа.

Первым шагом найдем векторы нормалей к плоскостям BDC и BDA1. Для этого воспользуемся равенством, которое гласит, что векторное произведение двух векторов равно произведению модулей этих векторов на синус угла между ними.

В нашем случае, плоскость BDC задана векторами \(\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{BC}\), а плоскость BDA1 задана векторами \(\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{BA1}\). Определим данные векторы.

Так как сторона куба равна \(a\), то вектор \(\overrightarrow{BD}\) будет иметь координаты \((a, a, a)\). Вектор \(\overrightarrow{BC}\) можно найти, вычтя из координат точки B координаты точки C: \(\overrightarrow{BC} = (a, a, 0) - (0, a, a) = (a, 0, -a)\). Вектор \(\overrightarrow{BA1}\) можно найти аналогичным образом: \(\overrightarrow{BA1} = (a, -a, a) - (a, a, a) = (0, -2a, 0)\).

Теперь найдем векторное произведение для нахождения нормали к плоскости BDC:
\(\overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{BD} \times \overrightarrow{BC} = (a, a, a) \times (a, 0, -a) = (a^2, 2a^2, -a^2)\).

Аналогично, найдем нормаль к плоскости BDA1:
\(\overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{BD} \times \overrightarrow{BA1} = (a, a, a) \times (0, -2a, 0) = (2a^2, 0, -2a^2)\).

Теперь, чтобы найти значение косинуса угла между плоскостями BDC и BDA1, воспользуемся формулой для косинуса угла между двумя векторами. Векторное произведение нормалей к плоскостям будет равно произведению модулей векторов на косинус искомого угла: \(\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = |\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}| \cdot \cos{\theta}\), где \(|\overrightarrow{n}|\) обозначает модуль вектора \(\overrightarrow{n}\), \(\theta\) - угол между плоскостями.

Найдем модули векторов:
\(|\overrightarrow{n_1}| = \sqrt{a^4 + 4a^4 + a^4} = \sqrt{6a^4}\)
\(|\overrightarrow{n_2}| = \sqrt{4a^4 + 0 + 4a^4} = \sqrt{8a^4}\)

Теперь подставим полученные значения в формулу:
\(\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = \sqrt{6a^4} \cdot \sqrt{8a^4} \cdot \cos{\theta}\)

Таким образом, значение косинуса угла между плоскостями BDC и BDA1 равно:
\[\cos{\theta} = \frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{\sqrt{6a^4} \cdot \sqrt{8a^4}}\]