Найдите значение n для бинома (2a3 + b)n, если сумма всех коэффициентов равна?

Золото

17

Хорошо, чтобы найти значение \(n\) для бинома \((2a^3 + b)^n\), при котором сумма всех коэффициентов равна, нам понадобится использовать бином Ньютона и его формулу.

Формула бинома Ньютона представляет собой:
\[(a + b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1} b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \ldots + \binom{n}{n-1}a^1b^{n-1} + \binom{n}{n}a^0b^n\]

Здесь \(\binom{n}{k}\) обозначает коэффициент биномиального разложения, который вычисляется по формуле:
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Сумма всех коэффициентов будет равна значению выражения \((a+b)^n\). В нашем случае бином равен \((2a^3 + b)^n\), поэтому сумма всех коэффициентов будет равна значению этого бинома.

Теперь давайте решим эту задачу. Если мы заменим \(a\) на \(2a^3\) и \(b\) на \(b\) в формуле бинома Ньютона, мы получим:
\[(2a^3 + b)^n = \binom{n}{0}(2a^3)^n b^0 + \binom{n}{1}(2a^3)^{n-1} b^1 + \binom{n}{2}(2a^3)^{n-2}b^2 + \ldots + \binom{n}{n-1}(2a^3)^1b^{n-1} + \binom{n}{n}(2a^3)^0b^n\]

Чтобы найти значение \(n\), мы должны сравнить это выражение с выражением \(1 \cdot (2a^3 + b)^n\), так как сумма всех коэффициентов равна \(1\).

Теперь у нас есть следующие значения для сравнения:
\[\binom{n}{0}(2a^3)^n b^0 = 1\]
\[\binom{n}{1}(2a^3)^{n-1} b^1 = 0\]
\[\binom{n}{2}(2a^3)^{n-2}b^2 = 0\]
\[\ldots\]
\[\binom{n}{n-1}(2a^3)^1b^{n-1} = 0\]
\[\binom{n}{n}(2a^3)^0b^n = 0\]

Нам нужно найти такое значение \(n\), при котором все слагаемые, кроме первого, равны нулю. Так как мы знаем, что все коэффициенты равны нулю, кроме коэффициента с индексом \(k = 0\), нам нужно проанализировать только первое слагаемое.

Первое слагаемое:
\[\binom{n}{0}(2a^3)^n b^0 = 1\]

Упростим выражение:
\[(2a^3)^n = 1\]
\[2^n (a^3)^n = 1\]
\[(2a^3)^n = 1\]

Так как мы знаем, что \(1^n = 1\), то слагаемое будет равно единице только в случае, если \(2a^3 = 1\).

Теперь мы можем решить уравнение:
\[2a^3 = 1\]

Для этого разделим обе части на 2:
\[a^3 = \frac{1}{2}\]

Чтобы найти значение \(a\), возведем обе части в степень \(\frac{1}{3}\):
\[a = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\]

Теперь, когда мы нашли значение \(a\), у нас есть все необходимые данные для решения задачи. Данное выражение: \((2a^3 + b)^n\) будет равно единице только в случае, если \(a = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\).

Итак, значение \(n\) для бинома \((2a^3 + b)^n\), при котором сумма всех коэффициентов равна, будет зависеть от значения \(a\) и \(b\). Если \(a = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\), то \(n\) будет таким, чтобы все коэффициенты, кроме первого, равнялись нулю. Если \(a \neq \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\), то значение \(n\) будет другим и коэффициенты будут иметь различные значения.