Найдите значение тангенса острого угла вравнобедренной трапеции, у которой одно из оснований равно 5, другое основание

Лариса

51

Для решения данной задачи, нам нужно вспомнить определение тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. Тангенс острого угла можно найти, разделив противоположную катету на прилежащий катет.

Данная трапеция является равнобедренной, поэтому можно нарисовать высоту и разделить трапецию на два прямоугольных треугольника. Поскольку у нас нет информации о длине высоты, предлагаю воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения высоты.

Так как основания трапеции равны 5 и 9, а это основания прямоугольного треугольника, то можно представить их в виде катетов. Обозначим более короткое основание как катет \(a\) (a = 5), а более длинное основание как катет \(b\) (b = 9).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:

\(\displaystyle a^{2} + h^{2} = c^{2}\), где \(c\) – гипотенуза треугольника-трапеции (равна 9).

Теперь решим полученное уравнение относительно высоты \(h\):

\(\displaystyle 5^{2} + h^{2} = 9^{2}\)

\(\displaystyle 25 + h^{2} = 81\)

Вычитая 25 из обеих частей уравнения, получим:

\(\displaystyle h^{2} = 81 - 25\)

\(\displaystyle h^{2} = 56\)

\(\displaystyle h = \sqrt{56}\)

\(\displaystyle h = 2\sqrt{14}\)

Теперь, когда мы нашли длину высоты, мы можем рассмотреть один из прямоугольных треугольников в рамках трапеции. В этом треугольнике выберем острый угол, лежащий между основанием стороны длиной 5 и высотой треугольника длиной \(2\sqrt{14}\).

Для нахождения тангенса данного угла, необходимо найти отношение противоположного катета (высота) к прилежащему катету (длина основания равной 5):

\(\displaystyle \tan(\theta) = \frac{h}{a} = \frac{2\sqrt{14}}{5}\)

Таким образом, мы нашли значение тангенса острого угла вравнобедренной трапеции, у которой одно из оснований равно 5, другое основание равно 9, а высота равна \(2\sqrt{14}\):

\(\displaystyle \tan(\theta) = \frac{2\sqrt{14}}{5}\)