Найдите значение высокой прямой призмы, основой которой является трапеция ABCD, где угол А равен 90 градусов, угол

Пугающий_Шаман

33

Чтобы найти значение высоты \(h\) прямой призмы, основой которой является трапеция \(ABCD\), нам понадобится использовать теорему Пифагора и формулу площади трапеции.

Шаг 1: Найдем длину стороны \(BC\). Так как угол \(B\) равен 60 градусов, а стороны \(AB\) и \(AD\) известны, то мы можем использовать теорему косинусов:

\[
BC = \sqrt{AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos{B}}
\]

Подставим значения:

\[
BC = \sqrt{7^2 + 3^2 - 2 \cdot 7 \cdot 3 \cdot \cos{60}}
\]

Угол в радианах: \(\cos{60} = \frac{1}{2}\)

\[
BC = \sqrt{7^2 + 3^2 - 2 \cdot 7 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}}
\]

\[
BC = \sqrt{49 + 9 - 21}
\]

\[
BC = \sqrt{37}
\]

Шаг 2: Найдем высоту \(h\) прямой призмы. Обратите внимание, что высота \(h\) является высотой боковой грани.

Рассмотрим треугольник \(ABC\). Мы знаем сторону \(BC\) и угол \(B\).

\[
\tan{B} = \frac{h}{BC}
\]

Так как угол \(B\) равен 60 градусов, угол в радианах: \(\tan{60} = \sqrt{3}\)

\[
\sqrt{3} = \frac{h}{\sqrt{37}}
\]

\[
h = \sqrt{3} \cdot \sqrt{37}
\]

Шаг 3: Найдем площадь полной поверхности призмы. Она состоит из площадей двух оснований и трех боковых граней.

Площадь основания \(S_{\text{осн}}\) равна площади трапеции \(ABCD\):

\[
S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot h
\]

Подставим значения:

\[
S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot (7 + CD) \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{37}
\]

Площадь боковых граней \(S_{\text{бок}}\) равна сумме площадей треугольников \(ABF\), \(BCG\) и \(CDH\).

Площадь треугольника \(ABF\) можно найти с помощью формулы площади треугольника:

\[
S_{\text{бок}} = 2 \cdot S_{\text{тр}} + S_{\text{осн}}
\]

где \(S_{\text{тр}}\) - площадь треугольника \(ABF\).

\[
S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BF
\]

Используем теорему косинусов в треугольнике \(ABF\):

\[
BF = \sqrt{AB^2 + AF^2 - 2 \cdot AB \cdot AF \cdot \cos{B}}
\]

Подставим значения:

\[
BF = \sqrt{7^2 + h^2 - 2 \cdot 7 \cdot h \cdot \cos{B}}
\]

\[
BF = \sqrt{7^2 + (\sqrt{3} \cdot \sqrt{37})^2 - 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{37} \cdot \cos{60}}
\]

\[
BF = \sqrt{7^2 + 3 \cdot 37 - 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{3 \cdot 37} \cdot \frac{1}{2}}
\]

\[
BF = \sqrt{49 + 111 - 7 \cdot \sqrt{111}}
\]

Таким образом, площадь боковых граней равна:

\[
S_{\text{бок}} = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BF\right) + \frac{1}{2} \cdot (7 + CD) \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{37}
\]

Шаг 4: Найдем значение площади полной поверхности призмы \(S_{\text{полн}}\) путем сложения площади основания \(S_{\text{осн}}\) и площади боковых граней \(S_{\text{бок}}\):

\[
S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}
\]

Подставим значения и выполним расчеты, чтобы найти значение площади полной поверхности призмы.