Які значення об єму та площі поверхні тіла обертання, коли рівнобедрений трикутник з кутом при основі 30 градусів

Krosha

58

Щоб знайти об"єм і площу поверхні тіла обертання, яке утворюється при обертанні рівнобедреного трикутника навколо основи, нам потрібно використати формули, пов"язані з цим процесом.

Об"єм тіла обертання можна знайти за формулою \[V = \pi \cdot R^2 \cdot h\], де \(V\) - об"єм тіла, \(\pi\) - математична константа, що приблизно дорівнює 3.14, \(R\) - радіус описаного кола, яке утворюється під час обертання, \(h\) - висота тіла.

Для знаходження площі поверхні тіла обертання можна використати формулу \[S = 2 \pi \cdot R \cdot l\], де \(S\) - площа поверхні тіла, \(l\) - довжина дуги, що утворюється при обертанні.

Найперше, нам потрібно знайти радіус описаного кола. Оскільки треугольник рівнобедренний, то середня лінія є медіаною і перпендикулярна до основи. Тому вона ділить основу на дві рівні частини.

У нашому випадку, бічна сторона рівна 10 см, що означає, що основа поділяється на дві рівні частини по 5 см.

Використовуючи тригонометрію, ми можемо знайти висоту трикутника. Позначимо \(h\) - висота трикутника, а \(a\) - половина основи.

Так як маємо рівнобедрений трикутник, то можемо використати теорему Піфагора, щоб знайти висоту:
\[h^2 = 10^2 - 5^2\]
\[h^2 = 100 - 25\]
\[h^2 = 75\]
\[h = \sqrt{75}\]
\[h = 5\sqrt{3} \approx 8.66\]

Тепер нам потрібно знайти радіус описаного кола \(R\). Для цього ми можемо скористатися властивістю рівнобедреного трикутника, що медіана розбиває основу на дві рівні частини. Одна половина основи є відрізком від вершини до середини основи, а друга половина основи є відрізком від середини основи до кінця основи.

Отже, \(R\) - це відрізок від вершини до середини основи, або половина основи, тобто \(R = 5\).

Тепер ми можемо обчислити об"єм тіла обертання за формулою:
\[V = \pi \cdot R^2 \cdot h = 3.14 \cdot (5)^2 \cdot (5\sqrt{3}) = 3.14 \cdot 25 \cdot 5\sqrt{3} \approx 392.7\]

Площу поверхні тіла обертання можна знайти за формулою:
\[S = 2 \pi \cdot R \cdot l\]

Для знаходження довжини дуги \(l\) нам треба знайти довжину основи трикутника, яка утворює дугу при обертанні. Оскільки основа рівнобедреного трикутника є відрізком від кута основи до кута основи, то її довжина рівна довжині дуги \(l\).

Отже, \(l = 2a = 2 \cdot 5 = 10\).

Підставивши дані в формулу, отримаємо:
\[S = 2 \pi \cdot R \cdot l = 2 \cdot 3.14 \cdot 5 \cdot 10 = 314\]

Таким чином, об"єм тіла обертання при таких умовах дорівнює приблизно 392.7 кубічних сантиметра, а площа поверхні становить приблизно 314 квадратних сантиметрів.