Найдите значения p и q в уравнении x^2+px+q=0, если его корнями являются x=-7

Gleb

6

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово. У нас есть квадратное уравнение вида \(x^2+px+q=0\), где x равно -7. Мы должны найти значения p и q, которые удовлетворяют этому уравнению.

Шаг 1: Вспомним, что корни квадратного уравнения могут быть найдены с использованием формулы корней. Формула корней выглядит следующим образом:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

где a, b и c - коэффициенты уравнения \(ax^2+bx+c=0\).

В нашем случае, коэффициент a равен 1 (так как у нас перед \(x^2\) стоит 1), коэффициент b равен p (потому что у нас перед x стоит p) и коэффициент c равен q.

Шаг 2: Подставим значение x = -7 в наше уравнение:

\((-7)^2+p(-7)+q=0\)

Упростим это:

\(49-7p+q=0\)

Шаг 3: Теперь мы можем решить систему уравнений, используя условие, что корнями являются x = -7. Заменим x на -7 в формуле корней:

\(-7 = \frac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}\)

Сделаем небольшое преобразование для упрощения:

\(-7 = -\frac{p}{2} \pm \frac{\sqrt{p^2-4q}}{2}\)

\(-7 = -\frac{p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}\)

Шаг 4: Теперь у нас есть два уравнения, которые могут помочь нам найти значения p и q:

\[
\begin{cases}
49-7p+q=0 \\
-7 = -\frac{p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}
\end{cases}
\]

Мы можем решить эту систему уравнений, выбрав одно из двух значений для \(\pm\) во втором уравнении. Давайте решим при плюсе (\(+\)) и при минусе (\(-\)) для нахождения двух возможных ответов.

Если мы выберем плюс (\(+\)), получим:

\[
\begin{cases}
49-7p+q=0 \\
-7 = -\frac{p + \sqrt{p^2-4q}}{2}
\end{cases}
\]

Решим первое уравнение относительно q:

\(q = 7p - 49\)

Подставим это значение q во второе уравнение:

\(-7 = -\frac{p + \sqrt{p^2-4(7p-49)}}{2}\)

Для упрощения возьмем числитель за скобки:

\(-7 = -\frac{p + \sqrt{p^2-28p+196}}{2}\)

Умножаем обе части уравнения на 2:

\(-14 = -p - \sqrt{p^2-28p+196}\)

Избавимся от отрицательных знаков:

\(14 = p + \sqrt{p^2-28p+196}\)

Возводим обе части уравнения в квадрат:

\(196 = p^2 + 2p\sqrt{p^2-28p+196} + (p^2-28p+196)\)

Упростим это уравнение:

\(196 = 2p^2 + 2p\sqrt{p^2-28p+196}\)

Делим обе части уравнения на 2:

\(98 = p^2 + p\sqrt{p^2-28p+196}\)

\(\sqrt{p^2-28p+196} = \frac{98 - p^2}{p}\)

Возводим обе части уравнения в квадрат:

\(p^2-28p+196 = \left(\frac{98 - p^2}{p}\right)^2\)

Раскроем скобки:

\(p^2-28p+196 = \frac{(98 - p^2)^2}{p^2}\)

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:

\(p^4 - 126p^2 + 3844 = 0\)

Теперь у нас есть уравнение четвертой степени, которое можно решить для значения p. Однако, решение этого уравнения выходит за рамки стандартных учебных материалов, и поэтому его решение не является практичным для большинства школьников.

Теперь давайте продолжим работу для второго значения \(\pm\) при минусе (\(-\)):

\[
\begin{cases}
49-7p+q=0 \\
-7 = -\frac{p - \sqrt{p^2-4q}}{2}
\end{cases}
\]

Решим первое уравнение относительно q:

\(q = 7p - 49\)

Подставим это значение q во второе уравнение:

\(-7 = -\frac{p - \sqrt{p^2-4(7p-49)}}{2}\)

Для упрощения возьмем числитель за скобки:

\(-7 = -\frac{p - \sqrt{p^2-28p+196}}{2}\)

Умножаем обе части уравнения на 2:

\(-14 = -p + \sqrt{p^2-28p+196}\)

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:

\(p - \sqrt{p^2-28p+196} = 14\)

\(\sqrt{p^2-28p+196} = p - 14\)

Возводим обе части уравнения в квадрат:

\(p^2-28p+196 = (p - 14)^2\)

Раскроем скобки:

\(p^2-28p+196 = p^2 - 28p + 196\)

Это уравнение является тождественным истинным, что означает, что любое значение p будет удовлетворять этому уравнению.

Таким образом, получаем два возможных значения для p: любое значение p и любое значение q, где q = 7p - 49.

Например, если мы выберем p = 0, то q = -49. Если мы выберем p = 1, то q = -42, и так далее.

Надеюсь, этот развернутый ответ помог вам понять решение задачи! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.