Найдите значения синуса и косинуса выражения tga+ctga=5

Solnce_V_Gorode

45

Хорошо, давайте найдем значения синуса и косинуса для данного выражения: \(tga + ctga = 5\).

Первым шагом, разберемся с выражением \(tga\). Вероятно, вы описали тангенс как "tga", но обычно этот тригонометрический оператор обозначается как "tg". Если вы имели в виду тангенс, то пусть \(tg\) будет равен \(x\).

Используем определение тангенса: \(tg(x) = \frac{{\sin(x)}}{{\cos(x)}}\). Так как вы хотите, чтобы \(tg(x)\) участвовало в уравнении, заменим \(tg(x)\) на \(x\): \(x + \frac{{1}}{{x}} = 5\).

Теперь приведем уравнение к более простому виду. Умножим все члены на \(x\), чтобы избавиться от дроби во втором члене: \(x^2 + 1 = 5x\).

Перенесем все члены в одну сторону уравнения, получим квадратное уравнение: \(x^2 - 5x + 1 = 0\).

Теперь решим это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта. Квадратное уравнение имеет вид \(ax^2 + bx + c = 0\). В нашем случае: \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 1\).

Формула дискриминанта выглядит следующим образом: \(D = b^2 - 4ac\).

Подставляя значения, получаем: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21\).

Теперь, используя формулы для нахождения решений квадратного уравнения, получим: \(x_1 = \frac{{-b + \sqrt{D}}}{{2a}}\) и \(x_2 = \frac{{-b - \sqrt{D}}}{{2a}}\).

Подставляем значения: \(x_1 = \frac{{5 + \sqrt{21}}}{{2}}\) и \(x_2 = \frac{{5 - \sqrt{21}}}{{2}}\).

Теперь, когда у нас есть значения \(x_1\) и \(x_2\), мы можем найти значения синуса и косинуса. Для этого мы воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Вспомним определение синуса и косинуса:

\[\sin(x) = \frac{{\text{{противоположный катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}} \quad \text{{и}} \quad \cos(x) = \frac{{\text{{прилежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\]

Зная значения \(x_1\) и \(x_2\), мы можем вычислить их синусы и косинусы, используя эти тождества.

Подставляя значения \(x_1\) и \(x_2\) в определения синуса и косинуса, получим:

\[\sin(x_1) = \sin\left(\frac{{5 + \sqrt{21}}}{{2}}\right)\]
\[\cos(x_1) = \cos\left(\frac{{5 + \sqrt{21}}}{{2}}\right)\]
\[\sin(x_2) = \sin\left(\frac{{5 - \sqrt{21}}}{{2}}\right)\]
\[\cos(x_2) = \cos\left(\frac{{5 - \sqrt{21}}}{{2}}\right)\]

Теперь у вас есть значения синуса и косинуса для данного выражения \(tga + ctga = 5\).