Каков первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если их сумма равна 27, а сумма первых трех членов равна

Zhuzha

28

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Для начала, давайте представим себе геометрическую прогрессию как последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается умножением предыдущего числа на некоторое фиксированное число, называемое знаменателем прогрессии.

Пусть первый член геометрической прогрессии будет равен \(a\), а знаменатель прогрессии — \(r\). Тогда второй член будет равен \(ar\), третий — \(ar^2\), и так далее.

Зная это, мы можем составить уравнение, связывающее сумму первых трех членов прогрессии со значением знаменателя. По условию задачи, сумма первых трех членов равна \(27\), то есть:

\[a + ar + ar^2 = 27.\]

Теперь давайте разберемся с этим уравнением.

Вынесем общий множитель \(a\) из левой части:

\[a(1 + r + r^2) = 27.\]

Мы видим, что в скобках стоит сумма элементов геометрической прогрессии из трех членов. Важно отметить, что в данной задаче нам не требуется найти значения \(a\) и \(r\) отдельно, поэтому мы можем использовать это свойство прогрессии.

Теперь мы можем записать уравнение в виде:

\[a = \frac{27}{1 + r + r^2}.\]

Получается, что первый член геометрической прогрессии равен \(\frac{27}{1 + r + r^2}\).

Теперь давайте найдем значение знаменателя прогрессии \(r\). Для этого нам понадобится дополнительная информация из условия задачи.

У нас есть информация о сумме всех членов прогрессии, которая равна \(27\). Это значит, что мы можем записать следующее уравнение:

\[a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots = 27.\]

Заметим, что это бесконечная геометрическая прогрессия, поскольку мы не ограничены первыми тремя членами.

Для того чтобы найти значение знаменателя \(r\), мы можем воспользоваться формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии:

\[S = \frac{a}{1 - r},\]

где \(S\) — сумма бесконечной геометрической прогрессии.

Подставим значения \(a\) и \(S\) в эту формулу:

\[27 = \frac{\frac{27}{1 + r + r^2}}{1 - r}.\]

Мы можем упростить это уравнение, умножив обе части на знаменатель в знаменателе слева:

\[27(1 - r) = \frac{27}{1 + r + r^2}.\]

Далее нам нужно решить это уравнение относительно \(r\). Выполним несколько алгебраических преобразований:

\[27 - 27r = \frac{27}{1 + r + r^2}.\]

Мы видим, что у нас получилось квадратное уравнение относительно \(r\). Приведем его к общему виду:

\[27(1 + r + r^2) - 27r(1 + r + r^2) = 27.\]

Раскроем скобки:

\[27 + 27r + 27r^2 - 27r - 27r^2 - 27r^3 = 27.\]

Упростим:

\[27r^3 = 0.\]

Мы получили кубическое уравнение относительно \(r\). На первый взгляд может показаться, что существует несколько значений для \(r\), но если мы внимательно рассмотрим уравнение, то увидим, что в данном случае возможно только одно значение: \(r = 0\).

Поскольку мы не можем делить на ноль, это означает, что знаменатель \(r\) должен быть равен нулю.

Теперь мы можем найти первый член геометрической прогрессии, используя значение \(a\), которое мы уже нашли:

\[a = \frac{27}{1 + r + r^2} = \frac{27}{1 + 0 + 0} = 27.\]

Итак, первый член геометрической прогрессии равен \(27\), а знаменатель равен \(0\).