Каков индекс означенного члена геометрической прогрессии: 7;-7/2;7/4;. . .; -7/128;

Pushistyy_Drakonchik

47

Конечно, я могу помочь вам с решением этой задачи про геометрическую прогрессию. Индекс (или номер) члена геометрической прогрессии можно определить, используя формулу \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\), где \(a_n\) - это n-й член геометрической прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(q\) - знаменатель прогрессии, а \(n\) - номер члена, индекс.

В данном случае у нас дана геометрическая прогрессия с первым членом \(a_1 = 7\) и знаменателем \(q = -\frac{1}{2}\). Мы хотим найти индекс (номер) члена прогрессии, а для этого нам нужно знать сам член, который мы ищем.

Используя формулу \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\), мы можем подставить известные значения:

\[
- \frac{7}{128} = 7 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}
\]

Теперь нам нужно решить это уравнение относительно \(n\). Давайте пошагово найдем решение.

1. Делим обе стороны уравнения на \(7\):

\[
- \frac{1}{128} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}
\]

2. Возведем обе стороны уравнения в степень \(-1\):

\[
\left(-\frac{1}{128}\right)^{-1} = \left(\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right)^{-1}
\]

По свойству степени с отрицательным показателем, получаем:

\[
-128 = \left(-\frac{1}{2}\right)^{-(n-1)}
\]

3. Применим свойство обратной степени к \(-\frac{1}{2}\), сменяя знак показателя:

\[
-128 = \left(-2\right)^{n-1}
\]

4. Проверим, к какому целому значению приведет нас это уравнение. Попробуем подставить различные целые числа вместо \(n-1\) и найти соответствующий левую часть равенства:

Для \(n-1 = 0\), получаем \((-2)^0 = 1\)

Для \(n-1 = 1\), получаем \((-2)^1 = -2\)

Для \(n-1 = 2\), получаем \((-2)^2 = 4\)

Для \(n-1 = 3\), получаем \((-2)^3 = -8\)

...

Мы видим, что при \(n-1 = 7\) достигается значение \((-2)^6 = 64\), а при \(n-1 = 8\), значение \((-2)^7 = -128\), которое уже встречается в геометрической прогрессии.

Следовательно, индекс (номер) члена геометрической прогрессии \(-7/128\) составляет 8.

Мы можем сделать вывод, что 8-й член геометрической прогрессии равен \(-7/128\).