Найдите значения сторон и углов четырехугольника, у которого середины сторон являются вершинами, при условии

Marina

38

Чтобы найти значения сторон и углов четырехугольника, у которого середины сторон являются вершинами, нам необходимо воспользоваться свойствами параллелограмма и теоремой косинусов.

Пусть \(ABCD\) - наш четырехугольник, где \(E\) и \(F\) - середины сторон \(AB\) и \(CD\) соответственно. Также пусть \(AC\) и \(BD\) - диагонали, где \(AC = 7\) см и \(BD = 3\) см. Угол между диагоналями обозначим как \(\angle BAC\) и он равен 37 градусов.

Сначала найдем значение сторон \(AB\) и \(CD\). Так как \(AE\) является серединой стороны \(AB\), то \(BE = \frac{1}{2} AB\). Аналогично, так как \(DF\) является серединой стороны \(CD\), то \(CF = \frac{1}{2} CD\).

Теперь применим теорему косинусов для треугольника \(ABC\). В этом треугольнике у нас известны длины сторон \(AC = 7\) см, \(BC = 2BE\) и угол \(\angle BAC = 37^\circ\). Теорема косинусов гласит:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle BAC).\]

Подставим известные значения и найдем \(AB\):
\[7^2 = AB^2 + (2BE)^2 - 2 \cdot AB \cdot 2BE \cdot \cos(37^\circ).\]

Так как \(BE = \frac{1}{2} AB\), то подставим это значение:
\[7^2 = AB^2 + (2 \cdot \frac{1}{2} AB)^2 - 2 \cdot AB \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} AB \cdot \cos(37^\circ).\]

Упростим уравнение:
\[49 = AB^2 + AB^2 - 2AB^2 \cdot \cos(37^\circ).\]

Теперь решим уравнение относительно \(AB\):
\[49 = 2AB^2 - 2AB^2 \cdot \cos(37^\circ).\]

\[49 = 2AB^2 (1 - \cos(37^\circ)).\]

\[AB^2 = \frac{49}{2(1 - \cos(37^\circ))}.\]

\[AB = \sqrt{\frac{49}{2(1 - \cos(37^\circ))}}.\]

Вычисляем значение \(AB\).

Аналогично поступаем для треугольника \(CDA\).

Теперь найдем значения углов.
Так как противоположные углы параллелограмма равны, то угол \(\angle ABC\) равен \(\angle CDA\).
Также, так как диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\), то угол \(\angle AOB\) является суммой углов \(\angle ABC\) и \(\angle CDA\).
Имеем \(\angle AOB = \angle ABC + \angle CDA\).
Значит, нам необходимо вычислить значение угла \(\angle AOB\), что можно сделать с помощью теоремы косинусов:

\[AB^2 + OA^2 - 2 \cdot AB \cdot OA \cdot \cos(\angle BAO) = 3^2.\]

Теперь, заметим, что \(\angle BAO\) равен половине угла \(\angle BAC\), так как треугольники \(BAE\) и \(CAO\) подобны.

Подставим найденные значения и решим уравнение относительно \(OA\), не забывая про то, что \(AO = OC\).

Вычислив значение \(OA\), можем найти значение угла \(\angle AOB\) и, соответственно, углов \(\angle ABC\) и \(\angle CDA\), так как они равны.

Теперь у нас есть значения сторон и углов четырехугольника \(ABCD\), у которого середины сторон являются вершинами.