Найдите значения x, при которых уравнение tgxsinx - cosx = 1/2cosx выполняется на интервале от 0 до 90 градусов

Tanec

1

Для решения данной задачи, нам необходимо найти значения угла \( x \), при которых уравнение выполняется на интервале от 0 до 90 градусов.

Давайте пошагово решим данную задачу:

1. Начнем с уравнения:
\(\tan(x) \sin(x) - \cos(x) = \frac{1}{2} \cos(x)\)

2. Преобразуем уравнение, чтобы избавиться от неопределенной функции \(\tan(x)\):
\(\tan(x) \sin(x) - \frac{1}{2} \cos(x) - \cos(x) = 0\)
\(\tan(x) \sin(x) - \frac{3}{2} \cos(x) = 0\)

3. Применим тригонометрическое тождество \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\) и заменим его в уравнении:
\(\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot \sin(x) - \frac{3}{2} \cos(x) = 0\)

4. Умножим обе части уравнения на \(\cos(x)\), чтобы избавиться от дроби:
\(\sin^2(x) - \frac{3}{2} \cos^2(x) = 0\)

5. Заменим \(\cos^2(x)\) с помощью тождества \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\):
\(\sin^2(x) - \frac{3}{2} (1 - \sin^2(x)) = 0\)

6. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\(\sin^2(x) - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \sin^2(x) = 0\)
\(\frac{5}{2} \sin^2(x) - \frac{3}{2} = 0\)

7. Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:
\(\frac{5}{2} \sin^2(x) - \frac{3}{2} = 0\)
\(\frac{5}{2} \sin^2(x) = \frac{3}{2}\)

8. Разделим обе части уравнения на \(\frac{5}{2}\):
\(\sin^2(x) = \frac{3}{5}\)

9. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
\(\sin(x) = \sqrt{\frac{3}{5}}\)

10. Используем калькулятор или таблицу значений синусов, чтобы найти \(x\) приближенно.
Из таблицы/калькулятора получаем \(x \approx 38.21\) градуса.

Таким образом, значение \(x\) при котором уравнение выполняется на интервале от 0 до 90 градусов, примерно равно 38.21 градуса.