Найти частное решение данного дифференциального уравнения с начальным условием, где y(0) равно

Виктор

60

Хорошо, я помогу вам найти частное решение данного дифференциального уравнения с начальным условием.

Дано дифференциальное уравнение:
\[
\frac{{dy}}{{dx}} = f(x)
\]
где \( f(x) \) - функция, зависящая только от переменной \( x \).

Для нахождения частного решения данного уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных.
Проинтегрируем обе стороны уравнения по переменным \( x \) и \( y \):

\[
\int dy = \int f(x) dx
\]

Получим:

\[
y = F(x) + C
\]

где \( F(x) \) - произвольная функция, являющаяся первообразной для \( f(x) \), а \( C \) - произвольная постоянная.

Теперь, чтобы найти частное решение с начальным условием, подставим значение начальной точки \( x = 0 \) и \( y(0) = y_0 \) в полученное уравнение:

\[
y_0 = F(0) + C
\]

Отсюда можно выразить постоянную \( C \):

\[
C = y_0 - F(0)
\]

Итак, частное решение данного дифференциального уравнения с начальным условием будет иметь вид:

\[
y = F(x) + y_0 - F(0)
\]

где \( F(x) \) - первообразная функция для \( f(x) \), а \( y_0 \) - значение функции \( y \) в начальной точке.