Найти длину биссектрисы AD, проходящей через вершину A треугольника ABC, где A(4,1), B(7,5) и C(-4,7). Рассматривая

Malysh

2

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу для длины биссектрисы треугольника. Давайте приступим.

1. Сначала нам нужно найти длины сторон треугольника ABC, используя формулу расстояния между точками:

Длина AB = \(\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\)
= \(\sqrt{(7 - 4)^2 + (5 - 1)^2}\)
= \(\sqrt{3^2 + 4^2}\)
= \(\sqrt{9 + 16}\)
= \(\sqrt{25}\)
= 5

Длина AC = \(\sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}\)
= \(\sqrt{(-4 - 4)^2 + (7 - 1)^2}\)
= \(\sqrt{(-8)^2 + 6^2}\)
= \(\sqrt{64 + 36}\)
= \(\sqrt{100}\)
= 10

Длина BC = \(\sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}\)
= \(\sqrt{(-4 - 7)^2 + (7 - 5)^2}\)
= \(\sqrt{(-11)^2 + 2^2}\)
= \(\sqrt{121 + 4}\)
= \(\sqrt{125}\)
= 5√5

2. Затем найдем полупериметр треугольника ABC, который вычисляется по следующей формуле:

\(p = \frac{{AB + AC + BC}}{2}\)
= \(\frac{{5 + 10 + 5√5}}{2}\)
= \(\frac{{15 + 5√5}}{2}\)

3. Теперь можем перейти к нахождению длины биссектрисы AD. Используя формулу для длины биссектрисы треугольника, получаем:

\(AD = 2 \times \sqrt{{AB \cdot AC \cdot p \cdot (p - BC)}}\over{(AB + AC)}}\)
= \(2 \times \sqrt{{5 \cdot 10 \cdot \frac{{15 + 5√5}}{2} \cdot \left(\frac{{15 + 5√5}}{2} - 5√5\right)}}\over{(5 + 10)}}\)
= \(2 \times \sqrt{{50 \cdot \frac{{15 + 5√5}}{2} \cdot \left(\frac{{15 + 5√5}}{2} - 5√5\right)}}\over{15}}\)
= \(2 \times \sqrt{{25 \cdot (15 + 5√5) \cdot (15 + 5√5 - 10√5)}}\over{15}}\)
= \(2 \times \sqrt{{25 \cdot (15 + 5√5) \cdot (15 - 5√5)}}\over{15}}\)

4. Давайте продолжим упрощение этого выражения:

\(2 \times \sqrt{{25 \cdot (225 - 125)}}\over{15}}\)
= \(2 \times \sqrt{{25 \cdot 100}}\over{15}}\)
= \(2 \times \sqrt{2500}\over{15}\)
= \(2 \times 50\over{15}\)
= \(\frac{100}{15}\)
= \frac{20}{3}

Таким образом, длина биссектрисы AD через вершину A равна \(\frac{20}{3}\) единиц.

Надеюсь, что это решение понятно и подробно. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.