Найти длину медианы треугольника АВС, если вершины заданы координатами: А(-2;0;1), В(4;4;1), С(2;-2;1

Marina

34

Чтобы найти длину медианы треугольника ABC, заданного координатами вершин А(-2;0;1), В(4;4;1), С(2;-2;1), мы можем использовать формулу для нахождения длины отрезка между двумя точками в трехмерном пространстве. После вычисления трех длин медиан треугольника, мы найдем самую длинную из них, которая и будет искомой длиной медианы.

Шаг 1: Вычисление длин отрезков

Первым шагом найдем длину отрезка между точками А и В. Для этого используем формулу для нахождения расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[
d_{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
\]

где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты точек А и В соответственно.

Подставляя значения координат, получаем:

\[
d_{AB} = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (4 - 0)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{36 + 16 + 0} = \sqrt{52}
\]

Таким образом, длина отрезка AB равна \(\sqrt{52}\).

Теперь найдем длину отрезка между точками А и С:

\[
d_{AC} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
\]

Подставляя значения координат, получаем:

\[
d_{AC} = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-2 - 0)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{16 + 4 + 0} = \sqrt{20}
\]

Таким образом, длина отрезка AC равна \(\sqrt{20}\).

Наконец, найдем длину отрезка между точками В и С:

\[
d_{BC} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
\]

Подставляя значения координат, получаем:

\[
d_{BC} = \sqrt{(2 - 4)^2 + (-2 - 4)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{4 + 36 + 0} = \sqrt{40}
\]

Таким образом, длина отрезка BC равна \(\sqrt{40}\).

Шаг 2: Нахождение длины медианы

Теперь найдем самую длинную из трех отрезков AB, AC и BC, которая и будет длиной медианы треугольника.

Сравним длины:

\(\sqrt{52}\), \(\sqrt{20}\), \(\sqrt{40}\)

Чтобы выяснить, какая из них наибольшая, можно возвести все три числа в квадрат и сравнить их.

\(\sqrt{52}^2 = 52\)

\(\sqrt{20}^2 = 20\)

\(\sqrt{40}^2 = 40\)

Таким образом, самая длинная медиана треугольника ABC имеет длину \(\sqrt{52}\).

Ответ: Длина медианы треугольника АВС равна \(\sqrt{52}\).