Найти: Какая будет сила тока в катушке в тот момент времени, когда напряжение к конденсатору уменьшилось в 2 раза

Пылающий_Жар-птица

10

Для решения данной задачи нам потребуется использовать закон сохранения энергии в колебательном контуре. Запишем этот закон:

$$\frac{1}{2}L(I^2-I_0^2)+\frac{1}{2}C(U^2-U_0^2)=0,$$

где:
$L$ - индуктивность катушки,
$I$ - сила тока в катушке в текущий момент времени,
$I_0$ - сила тока в катушке в начальный момент времени,
$C$ - емкость конденсатора,
$U$ - напряжение на конденсаторе в текущий момент времени,
$U_0$ - напряжение на конденсаторе в начальный момент времени.

Мы знаем, что в начальный момент времени конденсатор был заряжен до максимального напряжения $U_0=100\text{В}$, а значит $I_0=0$, так как сила тока изначально была равна нулю.

Также из условия задачи известно, что напряжение на конденсаторе уменьшилось в 2 раза, то есть $U=\frac{U_0}{2}=\frac{100\text{В}}{2}=50\text{В}$.

Подставим известные значения в формулу:

$$\frac{1}{2}\cdot 10\text{мГн}\cdot (I^2-0^2)+\frac{1}{2}\cdot 100\text{мкФ}\cdot ({50}^2-{100}^2)=0.$$

Упростим уравнение:

$5\cdot {10}^{-3}\text{Гн}\cdot I^2-5\cdot {10}^{-2}\text{Гн}+\frac{1}{2}\cdot 100\text{мкФ}\cdot (-7500)=0.$

Выполним вычисления:

$5\cdot {10}^{-3}\text{Гн}\cdot I^2-5\cdot {10}^{-2}\text{Гн}-0.375\text{Ф}=0.$

Так как итоговое уравнение является квадратным, решим его, применив квадратное уравнение:

$5\cdot {10}^{-3}\text{Гн}\cdot I^2-5\cdot {10}^{-2}\text{Гн}-0.375\text{Ф}=0.$

Для решения этого уравнения воспользуемся дискриминантом $D$:

$D=b^2-4ac=(-5\cdot {10}^{-2}\text{Гн}{)}^2-4\cdot (5\cdot {10}^{-3}\text{Гн})\cdot (-0.375\text{Ф})$.

Вычисляем дискриминант:

$D=2.5\cdot {10}^{-5}{\text{Гн}}^2+6\cdot {10}^{-5}\text{Гн}\cdot \text{Ф}=8.5\cdot {10}^{-5}\text{Гн}\cdot \text{Ф}.$

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два действительных корня.

Подставим найденные значения в формулу для корней квадратного уравнения:

$$I_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a},$$

где $a$, $b$ и $c$ - коэффициенты уравнения.

Вычислим корни:

$$I_1=\frac{-(-5\cdot {10}^{-2}\text{Гн})+\sqrt{8.5\cdot {10}^{-5}\text{Гн}\cdot \text{Ф}}}{2\cdot 5\cdot {10}^{-3}\text{Гн}}.$$
$$I_2=\frac{-(-5\cdot {10}^{-2}\text{Гн})-\sqrt{8.5\cdot {10}^{-5}\text{Гн}\cdot \text{Ф}}}{2\cdot 5\cdot {10}^{-3}\text{Гн}}.$$

Выполняем вычисления:

$$I_1=\frac{5\cdot {10}^{-2}\text{Гн}+\sqrt{8.5\cdot {10}^{-5}\text{Гн}\cdot \text{Ф}}}{2\cdot 5\cdot {10}^{-3}\text{Гн}}.$$
$$I_2=\frac{5\cdot {10}^{-2}\text{Гн}-\sqrt{8.5\cdot {10}^{-5}\text{Гн}\cdot \text{Ф}}}{2\cdot 5\cdot {10}^{-3}\text{Гн}}.$$

Выполняем вычисления:

$$I_1\approx 0.1978\text{A},$$
$$I_2\approx 0.0022\text{A}.$$

Ответ: Сила тока в катушке, когда напряжение на конденсаторе уменьшилось в 2 раза, составит примерно 0.1978 А.