Найти: Какая будет сила тока в катушке в тот момент времени, когда напряжение к конденсатору уменьшилось в 2 раза

Пылающий_Жар-птица

10

Для решения данной задачи нам потребуется использовать закон сохранения энергии в колебательном контуре. Запишем этот закон:

\[\frac{1}{2}L(I^2 - I_0^2) + \frac{1}{2}C(U^2 - U_0^2) = 0,\]

где:
\(L\) - индуктивность катушки,
\(I\) - сила тока в катушке в текущий момент времени,
\(I_0\) - сила тока в катушке в начальный момент времени,
\(C\) - емкость конденсатора,
\(U\) - напряжение на конденсаторе в текущий момент времени,
\(U_0\) - напряжение на конденсаторе в начальный момент времени.

Мы знаем, что в начальный момент времени конденсатор был заряжен до максимального напряжения \(U_0 = 100\,\text{В}\), а значит \(I_0 = 0\), так как сила тока изначально была равна нулю.

Также из условия задачи известно, что напряжение на конденсаторе уменьшилось в 2 раза, то есть \(U = \frac{U_0}{2} = \frac{100\,\text{В}}{2} = 50\,\text{В}\).

Подставим известные значения в формулу:

\[\frac{1}{2} \cdot 10\,\text{мГн} \cdot (I^2 - 0^2) + \frac{1}{2} \cdot 100\,\text{мкФ} \cdot (50^2 - 100^2) = 0.\]

Упростим уравнение:

\(5 \cdot 10^{-3}\,\text{Гн} \cdot I^2 - 5 \cdot 10^{-2}\,\text{Гн} + \frac{1}{2} \cdot 100\,\text{мкФ} \cdot (-7500) = 0.\)

Выполним вычисления:

\(5 \cdot 10^{-3}\,\text{Гн} \cdot I^2 - 5 \cdot 10^{-2}\,\text{Гн} - 0.375\,\text{Ф} = 0.\)

Так как итоговое уравнение является квадратным, решим его, применив квадратное уравнение:

\(5 \cdot 10^{-3}\,\text{Гн} \cdot I^2 - 5 \cdot 10^{-2}\,\text{Гн} - 0.375\,\text{Ф} = 0.\)

Для решения этого уравнения воспользуемся дискриминантом \(D\):

\(D = b^2 - 4ac = (-5 \cdot 10^{-2}\,\text{Гн})^2 - 4 \cdot (5 \cdot 10^{-3}\,\text{Гн}) \cdot (-0.375\,\text{Ф})\).

Вычисляем дискриминант:

\(D = 2.5 \cdot 10^{-5}\,\text{Гн}^2 + 6 \cdot 10^{-5}\,\text{Гн} \cdot \text{Ф} = 8.5 \cdot 10^{-5}\,\text{Гн} \cdot \text{Ф}.\)

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два действительных корня.

Подставим найденные значения в формулу для корней квадратного уравнения:

\[I_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a},\]

где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты уравнения.

Вычислим корни:

\[I_1 = \frac{-(-5 \cdot 10^{-2}\,\text{Гн}) + \sqrt{8.5 \cdot 10^{-5}\,\text{Гн} \cdot \text{Ф}}}{2 \cdot 5 \cdot 10^{-3}\,\text{Гн}}.\]
\[I_2 = \frac{-(-5 \cdot 10^{-2}\,\text{Гн}) - \sqrt{8.5 \cdot 10^{-5}\,\text{Гн} \cdot \text{Ф}}}{2 \cdot 5 \cdot 10^{-3}\,\text{Гн}}.\]

Выполняем вычисления:

\[I_1 = \frac{5 \cdot 10^{-2}\,\text{Гн} + \sqrt{8.5 \cdot 10^{-5}\,\text{Гн} \cdot \text{Ф}}}{2 \cdot 5 \cdot 10^{-3}\,\text{Гн}}.\]
\[I_2 = \frac{5 \cdot 10^{-2}\,\text{Гн} - \sqrt{8.5 \cdot 10^{-5}\,\text{Гн} \cdot \text{Ф}}}{2 \cdot 5 \cdot 10^{-3}\,\text{Гн}}.\]

Выполняем вычисления:

\[I_1 \approx 0.1978\,\text{A},\]
\[I_2 \approx 0.0022\,\text{A}.\]

Ответ: Сила тока в катушке, когда напряжение на конденсаторе уменьшилось в 2 раза, составит примерно 0.1978 А.