Найти коэффициент перед выражением x^2 в полиноме (x^2−x+1)^999, пожалуйста

Дракон

23

Для нахождения коэффициента перед выражением \(x^2\) в полиноме \((x^2 - x + 1)^{999}\), мы можем воспользоваться биномом Ньютона.

Бином Ньютона утверждает, что для любых вещественных чисел \(a\) и \(b\) и положительного целого числа \(n\), разложение бинома \((a + b)^n\) раскрывается в сумму слагаемых следующего вида:
\[(a + b)^n = C_n^0 \cdot a^n \cdot b^0 + C_n^1 \cdot a^{n-1} \cdot b^1 + C_n^2 \cdot a^{n-2} \cdot b^2 + \ldots + C_n^{n-1} \cdot a^1 \cdot b^{n-1} + C_n^n \cdot a^0 \cdot b^n,\]
где \(C_n^k\) - биномиальный коэффициент, который можно вычислить по формуле:
\[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}.\]

Теперь, применим бином Ньютона к нашему полиному \((x^2 - x + 1)^{999}\). Здесь \(a = x^2\), \(b = -x\), и \(n = 999\). Поскольку мы хотим найти коэффициент перед \(x^2\), нам нужно найти слагаемое в разложении, где степень \(a\) равна 2. То есть, нам нужно вычислить значение \(C_{999}^2\).

Используя формулу для биномиального коэффициента, мы можем вычислить:
\[C_{999}^2 = \frac{999!}{2!(999-2)!} = \frac{999!}{2! \cdot 997!} = \frac{999 \cdot 998}{2} = 499,500.\]

Таким образом, коэффициент перед \(x^2\) в полиноме \((x^2 - x + 1)^{999}\) равен 499,500.