Найти координаты точки C, в которой сфера с центром A(-1;3;2) пересекается с осью ординат

Анатолий

47

Для решения данной задачи, мы должны найти координаты точки C, где сфера с центром A(-1;3;2) пересекается с осью ординат.

Для начала, давайте определим уравнение сферы. Уравнение сферы в трехмерном пространстве имеет вид:

\[(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2\]

где (a, b, c) - координаты центра сферы, а r - радиус сферы. В нашем случае, координаты центра A равны (-1, 3, 2).

Теперь нам нужно найти радиус сферы. Для этого воспользуемся информацией о пересечении с осью ординат. Мы знаем, что точка C лежит на оси ординат, поэтому координаты точки C будут (0, y, 0), где y - неизвестная координата, которую мы должны найти.

Подставим координаты точки C в уравнение сферы и получим:

\[(0 - (-1))^2 + (y - 3)^2 + (0 - 2)^2 = r^2\]

Раскроем скобки и упростим:

\[1 + (y - 3)^2 + 4 = r^2\]

\[5 + (y - 3)^2 = r^2\]

Теперь нам необходимо найти радиус сферы. Для этого нам понадобится информация о диаметре сферы. Мы знаем, что точка C лежит на оси ординат, поэтому расстояние между точкой C и центром сферы A будет равно диаметру сферы.

Диаметр сферы можно найти используя формулу расстояния между двумя точками:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

В нашем случае, x_1 = -1, y_1 = 3, z_1 = 2 (координаты центра сферы A), x_2 = 0, y_2 = y, z_2 = 0 (координаты точки C). Подставим значения в формулу и упростим:

\[d = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (y - 3)^2 + (0 - 2)^2}\]

\[d = \sqrt{1 + (y - 3)^2 + 4}\]

Теперь, так как мы знаем, что d равно диаметру сферы, который равняется удвоенному значению радиуса, то радиус r будет равен половине диаметра:

\[r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{1 + (y - 3)^2 + 4}}{2}\]

Теперь мы можем вернуться к уравнению сферы и подставить найденное значение радиуса:

\[5 + (y - 3)^2 = \left(\frac{\sqrt{1 + (y - 3)^2 + 4}}{2}\right)^2\]

Упростим данное уравнение:

\[5 + (y - 3)^2 = \frac{1 + (y - 3)^2 + 4}{4}\]

\[20 + 4(y - 3)^2 = 1 + (y - 3)^2 + 4\]

\[3(y-3)^2 = 15\]

\[(y-3)^2 = 5\]

Теперь найдем значения y, решив квадратное уравнение:

\[(y-3)^2 = 5\]

\[y - 3 = \pm \sqrt{5}\]

\[y = 3 \pm \sqrt{5}\]

Таким образом, у нас два возможных значения для y: y_1 = 3 + \sqrt{5} и y_2 = 3 - \sqrt{5}.

Таким образом, координаты точки C, в которой сфера с центром A(-1;3;2) пересекается с осью ординат, будут (0, 3 + \sqrt{5}, 0) и (0, 3 - \sqrt{5}, 0).