1. Стройте отрезок, который является симметричным относительно: а) оси ОХ, относительно отрезка АВ, где А (1; 4) и

Светлана

52

1. а) Чтобы построить отрезок, который является симметричным относительно оси ОХ, относительно отрезка АВ, нам нужно найти середину отрезка АВ и отразить точки относительно этой середины.

Сначала найдем середину отрезка АВ. Для этого можно взять среднее арифметическое координат точек А и В.
\(x_{\text{середина}} = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1 + (-3)}{2} = -1\)
\(y_{\text{середина}} = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{4 + (-4)}{2} = 0\)

Таким образом, середина отрезка АВ имеет координаты (-1, 0).
Теперь мы можем отразить точки А и В относительно этой середины:
\(\text{Отражение А:} \quad \text{А"}(x", y") = (2 \cdot x_{\text{середина}} - x_1, 2 \cdot y_{\text{середина}} - y_1)\)
\(\text{Отражение А:} \quad \text{А"}(x", y") = (2 \cdot -1 - 1, 2 \cdot 0 - 4)\)
\(\text{Отражение А:} \quad \text{А"}(-3, -4)\)

\(\text{Отражение В:} \quad \text{В"}(x", y") = (2 \cdot x_{\text{середина}} - x_2, 2 \cdot y_{\text{середина}} - y_2)\)
\(\text{Отражение В:} \quad \text{В"}(x", y") = (2 \cdot -1 - (-3), 2 \cdot 0 - (-4))\)
\(\text{Отражение В:} \quad \text{В"}(1, 4)\)

Таким образом, отрезок, который является симметричным относительно оси ОХ, относительно отрезка АВ, имеет конечные точки (-3, -4) и (1, 4).

б) Чтобы построить отрезок, который является симметричным относительно точки С (-1, 0), относительно отрезка АВ, нам нужно отразить точки А и В относительно точки С.

\(\text{Отражение А:} \quad \text{А"}(x", y") = (2 \cdot x_{\text{с}} - x_1, 2 \cdot y_{\text{с}} - y_1)\)
\(\text{Отражение А:} \quad \text{А"}(x", y") = (2 \cdot (-1) - 1, 2 \cdot 0 - 4)\)
\(\text{Отражение А:} \quad \text{А"}(-3, -4)\)

\(\text{Отражение В:} \quad \text{В"}(x", y") = (2 \cdot x_{\text{с}} - x_2, 2 \cdot y_{\text{с}} - y_2)\)
\(\text{Отражение В:} \quad \text{В"}(x", y") = (2 \cdot (-1) - (-3), 2 \cdot 0 - (-4))\)
\(\text{Отражение В:} \quad \text{В"}(1, 4)\)

Таким образом, отрезок, который является симметричным относительно точки С (-1, 0), относительно отрезка АВ, имеет конечные точки (-3, -4) и (1, 4).

в) Чтобы построить отрезок, который является полученной при параллельном переносе на вектор (-3, 5), относительно отрезка АВ, нам нужно прибавить вектор (-3, 5) к координатам точек А и В.

\(\text{Параллельный перенос А:} \quad \text{А"}(x", y") = (x_1 + \Delta x, y_1 + \Delta y)\)
\(\text{Параллельный перенос А:} \quad \text{А"}(x", y") = (1 + (-3), 4 + 5)\)
\(\text{Параллельный перенос А:} \quad \text{А"}(-2, 9)\)

\(\text{Параллельный перенос В:} \quad \text{В"}(x", y") = (x_2 + \Delta x, y_2 + \Delta y)\)
\(\text{Параллельный перенос В:} \quad \text{В"}(x", y") = (-3 + (-3), -4 + 5)\)
\(\text{Параллельный перенос В:} \quad \text{В"}(-6, 1)\)

Таким образом, отрезок, который получается при параллельном переносе на вектор (-3, 5), относительно отрезка АВ, имеет конечные точки (-2, 9) и (-6, 1).

2. а) Чтобы найти координаты точки А1, которая является образом точки А (2, 0) при параллельном переносе на вектор (3, -2), мы должны прибавить вектор (3, -2) к координатам точки А.

\(\text{А1}(x, y) = (x_A + \Delta x, y_A + \Delta y)\)
\(\text{А1}(x, y) = (2 + 3, 0 + (-2))\)
\(\text{А1}(x, y) = (5, -2)\)

Таким образом, координаты точки А1, которая является образом точки А (2; 0) при параллельном переносе на вектор (3; -2), равны (5, -2).

б) Чтобы найти координаты точки В, которая является прообразом точки В1 (1, -1) при данном параллельном переносе на вектор (3, -2), мы должны вычесть вектор (3, -2) из координат точки В1.

\(\text{В}(x, y) = (x_{B1} - \Delta x, y_{B1} - \Delta y)\)
\(\text{В}(x, y) = (1 - 3, -1 - (-2))\)
\(\text{В}(x, y) = (-2, 1)\)

Таким образом, координаты точки В, которая является прообразом точки В1 (1, -1) при параллельном переносе на вектор (3, -2), равны (-2, 1).