Найти массу плоской пластины D, заключенной между кривыми y=2x; y=0,5x; x=1. Поверхностная плотность γ(x;y)=1

Морской_Корабль

30

Для решения этой задачи найдем сначала площадь пластины D, ограниченной кривыми \(y = 2x\), \(y = 0.5x\) и \(x = 1\).

Сначала найдем точки пересечения кривых \(y=2x\) и \(y=0.5x\). Это происходит при \(2x = 0.5x\), откуда \(x = \frac{1}{3}\).

Таким образом, мы нашли, что пластина D ограничена графиками функций \(y=2x\) и \(y=0.5x\) на интервале \((0, \frac{1}{3})\), а затем \(y=0\) и \(x=1\).

Площадь пластины D можно найти интегрированием функции \(y_2 - y_1\) по области D:

\[ A = \int_{0}^{\frac{1}{3}} (2x - 0.5x) dx = \int_{0}^{\frac{1}{3}} 1.5x dx = 1.5 \int_{0}^{\frac{1}{3}} x dx = 1.5 \cdot \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{\frac{1}{3}} = 1.5 \cdot \left(\frac{1}{18}\right) = \frac{1}{12} \]

Теперь, чтобы найти массу пластины D, мы можем воспользоваться формулой:

\[ m = \iint\limits_{D} \gamma(x;y) dA = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2x} 1 \cdot dy dx = \int_{0}^{1} [y]_{0}^{2x} dx = \int_{0}^{1} (2x - 0) dx = \int_{0}^{1} 2x dx = [x^2]_{0}^{1} = 1 \]

Таким образом, масса плоской пластины D, заключенной между кривыми \(y=2x\), \(y=0.5x\), и \(x=1\), при поверхностной плотности \(\gamma(x;y) = 1\), равна 1.

Ответ: Масса пластины D равна 1.