Найти меру угла A треугольника ABC с вершинами в точках A (-1; √3), B (1; -√3), C

Zagadochnyy_Peyzazh

57

(-3; -√3).

Для нахождения меры угла A треугольника ABC сначала найдем длины сторон треугольника. Затем воспользуемся теоремой косинусов для вычисления угла.

Шаг 1: Нахождение длин сторон треугольника ABC.
Длина стороны AB можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

\[AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Здесь (x1, y1) - координаты точки A, а (x2, y2) - координаты точки B.
Подставим значения:

\[AB = \sqrt{(1 - (-1))^2 + ((-√3) - √3)^2}\]

Выполняем вычисления:

\[AB = \sqrt{(1 + 1)^2 + (-√3 - √3)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\]

Аналогично, находим длины сторон BC и AC:

\[BC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(1 - (-3))^2 + ((-√3) - (-√3))^2} = \sqrt{(1 + 3)^2 + (-√3 + √3)^2} = \sqrt{16} = 4\]

\[AC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{((-1) - (-3))^2 + (√3 - (-√3))^2} = \sqrt{2^2 + (√3 + √3)^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4\]

Шаг 2: Нахождение меры угла A с помощью теоремы косинусов.
Теорема косинусов гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\]

где c - длина стороны противолежащей углу C, а a и b - длины других двух сторон.

Применим теорему косинусов к треугольнику ABC для нахождения угла A:

\[4^2 = (2\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2(2\sqrt{2})(4)\cos(A)\]

Выполняем вычисления:

\[16 = 8 + 16 - 16\sqrt{2}\cos(A)\]

Упрощаем выражение:

\[16 - 8 - 16 = -16\sqrt{2}\cos(A)\]
\[8 = -16\sqrt{2}\cos(A)\]

Поскольку \(\cos(A)\) должно быть положительным (поскольку синус угла A будет положительным в первом квадранте на координатной плоскости), то исключаем отрицательное число.

\[8 = 16\sqrt{2}\cos(A)\]
\[\frac{8}{16\sqrt{2}} = \cos(A)\]
\[\frac{1}{2\sqrt{2}} = \cos(A)\]
\[\frac{1}{4\sqrt{2}} = \cos(A)\]

Теперь необходимо найти угол A с помощью арккосинуса:
\[A = \arccos\left(\frac{1}{4\sqrt{2}}\right)\]

Вычисляем значение угла A с помощью калькулятора:

\[A \approx 29.1^\circ\]

Таким образом, мера угла A треугольника ABC составляет приблизительно 29.1 градуса.