Найти производную, исходя из определения

Skvorec

41

Конечно! Чтобы найти производную функции, исходя из определения, мы воспользуемся формулой:

\[
f"(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(x+h) - f(x)}}{h}
\]

где \(f(x)\) -- исходная функция, а \(f"(x)\) -- ее производная.

Давайте рассмотрим пример для функции \(f(x) = x^2\), чтобы проиллюстрировать шаги выполнения. Мы будем искать производную этой функции в точке \(x = a\).

Шаг 1: Подставляем функцию в формулу производной:

\[
f"(a) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(a+h) - f(a)}}{h}
\]

Шаг 2: Заменяем \(f(x)\) на \(x^2\):

\[
f"(a) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{(a+h)^2 - a^2}}{h}
\]

Шаг 3: Раскрываем скобки в числителе:

\[
f"(a) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}}{h}
\]

Шаг 4: Упрощаем выражение:

\[
f"(a) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{2ah + h^2}}{h}
\]

Шаг 5: Упрощаем еще больше, сокращая \(h\) в числителе и знаменателе:

\[
f"(a) = \lim_{{h \to 0}} (2a + h)
\]

Шаг 6: Выполняем предельное значение при \(h \to 0\), что означает, что \(h\) стремится к нулю:

\[
f"(a) = 2a + 0
\]

Шаг 7: Упрощаем выражение:

\[
f"(a) = 2a
\]

Итак, производная функции \(f(x) = x^2\) по определению равна \(2a\). Это означает, что наклон касательной к графику функции в любой точке равен удвоенному значению \(x\) в этой точке.

Если у вас есть другая функция, для которой нужно найти производную по определению, просто замените \(f(x)\) в формуле на вашу функцию и следуйте тем же шагам.