При каком значении k векторы c=ka +4b и d=a+kb становятся коллинеарными?

Сергеевна

35

Для того чтобы векторы \(c\) и \(d\) стали коллинеарными, их должно быть возможно выразить через один и тот же вектор. Это означает, что вектор \(c\) должен быть пропорционален вектору \(d\).

Давайте предположим, что векторы \(c\) и \(d\) коллинеарны и обозначим их через \(\mathbf{c} = \begin{pmatrix} x_c \\ y_c \end{pmatrix}\) и \(\mathbf{d} = \begin{pmatrix} x_d \\ y_d \end{pmatrix}\), соответственно.

Из определения вектора \(c\) данного в задаче, мы можем получить следующие равенства:

\[
\begin{align*}
x_c &= ka + 4b \\
y_c &= ka + 4b
\end{align*}
\]

Аналогично, для вектора \(d\) мы можем установить равенства:

\[
\begin{align*}
x_d &= a + kb \\
y_d &= a + kb
\end{align*}
\]

Теперь мы можем выразить векторы \(x_c\) и \(x_d\) через их компоненты:

\[
\begin{align*}
x_c &= ka + 4b = kx_a + 4x_b \\
x_d &= a + kb = x_a + kx_b
\end{align*}
\]

Аналогично, можем выразить и компоненты \(y_c\) и \(y_d\):

\[
\begin{align*}
y_c &= ka + 4b = ky_a + 4y_b \\
y_d &= a + kb = y_a + ky_b
\end{align*}
\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[
\begin{align*}
kx_a + 4x_b &= x_a + kx_b \\
ky_a + 4y_b &= y_a + ky_b
\end{align*}
\]

Мы можем упростить уравнения, выделив коэффициенты \(k\):

\[
\begin{align*}
(k - 1)x_a &= (4 - x_b)x_b \\
(k - 1)y_a &= (4 - y_b)y_b
\end{align*}
\]

Заметим, что мы можем принять \(k - 1\) и \(4 - x_b\) (или \(4 - y_b\)) равными нулю, так как векторы \(c\) и \(d\) должны быть коллинеарными. Это приводит нас к системе уравнений:

\[
\begin{align*}
k - 1 &= 0 \\
4 - x_b &= 0 \\
\text{или} \\
4 - y_b &= 0
\end{align*}
\]

Решая эту систему уравнений, получаем:

\[
\begin{align*}
k &= 1 \\
x_b &= 4 \\
\text{или} \\
y_b &= 4
\end{align*}
\]

Итак, векторы \(c\) и \(d\) станут коллинеарными, когда \(k = 1\) и \(b\) будет равен \((0, 4)\) или \((4, 0)\).