Найти радиус и объём шара, который вписан в цилиндр, осевое сечение которого имеет диагональ, наклоненную к плоскости

Геннадий

61

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Для начала, нам потребуется найти радиус \(r\) и объём \(V\) шара.

Шаг 1: Найдем радиус цилиндра \(R\). У нас нет прямой информации о значении \(R\), но мы можем использовать информацию о диагонали, наклоненной к плоскости основания цилиндра под углом 44°. Для этого мы возьмем высоту цилиндра и узнаем, какая часть диагонали лежит в плоскости основания.

Из геометрии мы знаем, что тангенс угла наклона диагонали равен отношению радиуса к высоте цилиндра:

\[ \tan(44^\circ) = \frac{R}{24} \]

Теперь найдем значение радиуса \(R\):

\[ R = 24 \cdot \tan(44^\circ) \]

Шаг 2: Теперь у нас есть значение радиуса цилиндра \(R\). Для того чтобы найти радиус и объем вписанного шара, мы можем воспользоваться следующими формулами:

Радиус вписанного шара \(r\) равен половине радиуса цилиндра:

\[ r = \frac{R}{2} \]

Объем шара \(V\) вычисляется следующим образом:

\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \]

Подставим значение \(r\) и найдем объем вписанного шара:

\[ V = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{R}{2}\right)^3 \]

Теперь, когда у нас есть формулы, давайте подставим известные значения и вычислим радиус и объем шара:

\[ R = 24 \cdot \tan(44^\circ) \]
\[ r = \frac{R}{2} \]
\[ V = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{R}{2}\right)^3 \]

Пожалуйста, подождите несколько секунд, я посчитаю это для вас.