Найти угол между прямыми AD и CC1, АB1 в кубе АВCDA1B1С1D1

Maksim_5997

57

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1. Для начала, давайте определим, какие точки находятся на прямых AD и CC1 в кубе ABCDA1B1C1D1.

Прямая AD проходит через вершины A и D куба.
Прямая CC1 проходит через вершины C и C1 куба.

2. Теперь нам нужно найти уравнения этих прямых. Для этого, давайте рассмотрим координаты вершин куба ABCDA1B1C1D1.

Вершины куба ABCDA1B1C1D1 имеют следующие координаты:
A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0),
A1(0, 0, 1), B1(1, 0, 1), C1(1, 1, 1), D1(0, 1, 1).

3. Для нахождения уравнений прямых, используем формулу двух точек. Это уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Уравнение прямой AD:
AD: \(\frac{x-0}{0-1} = \frac{y-0}{1-0} = \frac{z-0}{0-0}\)

Уравнение прямой CC1:
CC1: \(\frac{x-1}{1-1} = \frac{y-1}{1-1} = \frac{z-0}{1-0}\)

4. Упростим уравнения прямых:

Уравнение прямой AD:
AD: \(-x = y = 0\)

Уравнение прямой CC1:
CC1: \(x = 1, y = 1, z = 0\)

5. Теперь мы можем найти угол между прямыми AD и CC1. Для этого воспользуемся формулой для нахождения угла между двумя прямыми:

\(\cos\theta = \frac{{\vec{a} \cdot \vec{b}}}{{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}}\)

Где \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) - векторные направления прямых AD и CC1.

Векторное направление прямой AD: \(\vec{a} = (-1, 1, 0)\)
Векторное направление прямой CC1: \(\vec{b} = (1, 1, 0)\)

Подставим значения в формулу:

\(\cos\theta = \frac{{(-1, 1, 0) \cdot (1, 1, 0)}}{{|(-1, 1, 0)| \cdot |(1, 1, 0)|}}\)

\(\cos\theta = \frac{{(-1) \cdot (1) + (1) \cdot (1) + (0) \cdot (0)}}{{\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} \cdot \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}}}\)

\(\cos\theta = \frac{{-1 + 1 + 0}}{{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}}\)

\(\cos\theta = \frac{0}{{2}}\)

\(\cos\theta = 0\)

6. Так как косинус угла равен 0, это означает, что угол между прямыми AD и CC1 равен 90 градусам.

Таким образом, угол между прямыми AD и CC1 в кубе ABCDA1B1C1D1 равен 90 градусам.