Найти условный экстремум функции двух переменных z = 2x - y + 1, при условии x^2 - y

Ogon

25

Для нахождения условного экстремума функции двух переменных сначала найдем частные производные функции по каждой переменной. Затем найдем точки, в которых частные производные равны нулю или не существуют. Наконец, проверим полученные точки на экстремум.

Итак, у нас есть функция двух переменных: \( z = 2x - y + 1 \), и у нас есть условие: \( x^2 - y = 0 \).

Шаг 1: Найдем частные производные функции по переменным x и y.
Чтобы найти частную производную функции по переменной x, мы будем считать все остальные переменные, кроме x, постоянными. То же самое сделаем для y.

\[
\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = 2
\]

\[
\frac{{\partial z}}{{\partial y}} = -1
\]

Шаг 2: Найдем точки, в которых частные производные равны нулю или не существуют.

Из уравнения условия \( x^2 - y = 0 \) мы можем найти y в зависимости от x.
\( y = x^2 \)

Теперь мы можем подставить найденное значение y в частные производные и решить уравнения:

\[
2 = 0 \quad \text{(Такого x не существует)}
\]

\[
-1 = 0 \quad \text{(Такого y не существует)}
\]

Шаг 3: Проверим найденные точки на экстремумы, используя вторую производную тест.

Вычислим вторые частные производные:

\[
\frac{{\partial^2 z}}{{\partial x^2}} = 0
\]

\[
\frac{{\partial^2 z}}{{\partial x \partial y}} = 0
\]

\[
\frac{{\partial^2 z}}{{\partial y^2}} = 0
\]

Когда все вторые частные производные равны нулю, тест не даёт определённого результата, и мы не можем сказать, есть ли в найденных точках экстремумы.

Итак, в заданной функции нет условных экстремумов, так как ни одна из частных производных не равна нулю, а также вторая производная равна нулю во всех точках.

Вот ответ на вашу задачу. Я всегда готов помочь!