В сосуде находится несколько одинаковых кранов, которые открываются последовательно через одинаковые промежутки

Пугающий_Динозавр

20

Давайте решим эту задачу пошагово. Если сосуд заполнился через 8 часов после открытия последнего крана, значит каждый кран открылся за одинаковое время. Обозначим это время как \( t \).

Так как все краны открываются одновременно, то сосуд начнет заполняться сразу же. После каждого промежутка времени \( t \), он будет заполняться на определенный объем. За первый \( t \) часов он заполнится на \(\frac{1}{8}\) объема (так как это время до открытия первого крана). За следующие \( t \) часов сосуд заполнится на еще \(\frac{1}{8}\) (время до открытия второго крана), и так далее. В итоге, после открытия последнего крана прошло 8 часов, и сосуд заполнился полностью.

Теперь найдем общий объем сосуда. Пусть \( V \) — это объем сосуда. Как мы выяснили, за каждый промежуток времени \( t \) сосуд заполняется на \(\frac{1}{8}\) объема, поэтому заполнение сосуда происходит следующим образом:

\[\frac{V}{8} + \frac{V}{8} + \ldots + \frac{V}{8} = V.\]

Поскольку у нас несколько кранов, количество слагаемых будет равно количеству кранов. Пусть мы имеем \( n \) кранов:

\[\underbrace{\frac{V}{8} + \frac{V}{8} + \ldots + \frac{V}{8}}_{n \text{ раз}} = V.\]

Теперь мы можем решить это уравнение. Поскольку все слагаемые одинаковы, мы можем записать его так:

\[\frac{nV}{8} = V.\]

Чтобы найти время заполнения сосуда, когда все краны открыты одновременно, нужно найти \( t \), выраженное через \( n \). Для этого, домножим обе части уравнения на время \( t \):

\[\frac{nV}{8} \cdot t = V \cdot t.\]

Здесь \( \frac{nV}{8} \) — это скорость заполнения сосуда при последовательном открытии кранов, а \( V \cdot t \) — это объем сосуда, который нужно заполнить. Теперь сократим \( V \) с обеих сторон уравнения:

\[\frac{n}{8} \cdot t = t.\]

Осталось решить это уравнение относительно \( t \):

\[\frac{n}{8} \cdot t = t.\]

Для этого вынесем \( t \) за скобку:

\[\frac{n}{8} = 1,\]

или

\[t = \frac{8}{n}.\]

Таким образом, время заполнения сосуда, когда все краны открыты одновременно, равно \(\frac{8}{n}\) часов.