Найти вероятность, что разность модуля удвоенного значения случайной величины x минус значение случайной величины

Космический_Астроном

54

Давайте решим данную задачу пошагово.

Шаг 1: Изучение условия задачи
Мы должны найти вероятность того, что разность модуля удвоенного значения случайной величины x минус значение случайной величины y будет меньше или равно некоторому значению.

Шаг 2: Обзор основных понятий
Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые понятия, включающие модуль и случайные величины.

Модуль:
Модуль числа \(a\) обозначает абсолютную величину числа, то есть его расстояние от нуля на числовой прямой. Модуль числа \(a\) обозначается как \(|a|\).

Случайные величины:
Случайная величина представляет собой функцию, которая присваивает числу событие из некоторого пространства элементарных событий. Значение случайной величины может быть случайным числом.

Шаг 3: Решение задачи
Обозначим разность модуля удвоенного значения случайной величины x минус значение случайной величины y как \(D = |2x - y|\).

Вероятность того, что \(D\) будет меньше или равно некоторого значения \(a\), обозначим как \(P(D \leq a)\).

Для решения этой задачи, нам потребуется знание функции распределения случайных величин x и y. Предположим, что x и y являются независимыми случайными величинами.

Тогда функция распределения для \(D\) будет выглядеть следующим образом:

\[F_D(a) = P(D \leq a) = P(|2x - y| \leq a)\]

Мы можем переписать это уравнение как

\[P(-a \leq 2x - y \leq a)\]

Теперь нам нужно найти значения x и y, которые удовлетворяют этому условию.

Так как x и y являются случайными величинами, нам нужно учесть все возможные значения, принимаемые этими переменными. Давайте предположим, что x и y имеют равномерное распределение на интервале от 0 до 1.

Для того, чтобы \(2x - y\) находилось в диапазоне \(-a \leq 2x - y \leq a\), нам нужно найти область, где эта разность лежит в данном диапазоне. Представим эту область на графике.

Шаг 4: Значение вероятности
Если мы нарисуем график этой области, то можем заметить, что это треугольник с вершинами \((1, a), (0, -a)\) и \((1, -a)\). Площадь этого треугольника будет равна \(S = \frac{1}{2} \times 1 \times a\), то есть \(S = \frac{a}{2}\).

Теперь мы можем вычислить требуемую вероятность:

\[P(D \leq a) = \frac{S}{1} = \frac{a}{2}\]

Таким образом, вероятность того, что разность модуля удвоенного значения случайной величины x минус значение случайной величины y будет меньше или равно некоторому значению \(a\), равна \(\frac{a}{2}\).

Итак, мы нашли ответ на задачу. Вероятность равна \(\frac{a}{2}\).

Помните, что решение этой задачи было основано на предположении о равномерном распределении x и y на интервале от 0 до 1. Если в условии задачи даются конкретные распределения для x и y, то необходимо использовать соответствующий аналитический подход для нахождения вероятности.