Не вычисляя корни уравнения 2x^2 +2х-3=0 найти: а)сумму корней, б)произведение корней, в)сумму квадратов корней

Yagodka

67

Для этого уравнения \(2x^2 + 2x - 3 = 0\) нужно использовать формулы симметричных функций, чтобы найти необходимые параметры.

Пусть у уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) корни обозначаются как \(x_1\) и \(x_2\).

1. Сумма корней уравнения равна:
\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\]
В данном случае:
\[x_1 + x_2 = -\frac{2}{2} = -1\]
Следовательно, сумма корней равна \(-1\).

2. Произведение корней уравнения равно:
\[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\]
В данном случае:
\[x_1 \cdot x_2 = -\frac{3}{2}\]
Следовательно, произведение корней равно \(-\frac{3}{2}\).

3. Сумма квадратов корней:
\[(x_1^2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\]
Подставив значения суммы и произведения корней:
\[(x_1^2 + x_2^2) = (-1)^2 - 2 \cdot (-\frac{3}{2}) = 1 + 3 = 4\]
Сумма квадратов корней равна \(4\).

4. Сумма обратных корней уравнения:
\[(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}) = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}\]
Подставив значения суммы и произведения корней:
\[(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}) = \frac{-1}{-\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}\]
Сумма обратных корней равна \(\frac{2}{3}\).

5. Сумма кубов корней уравнения:
\[x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2)\]
Подставив значения суммы и произведения корней:
\[x_1^3 + x_2^3 = -1(1 + 3) = -4\]
Сумма кубов корней равна \(-4\).

6. Сумма четвертых степеней корней уравнения:
\[x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2x_1^2x_2^2\]
Подставив значения суммы квадратов корней:
\[x_1^4 + x_2^4 = 4^2 - 2 \cdot (\frac{3}{2})^2 = 16 - 2 \cdot \frac{9}{4} = 16 - \frac{9}{2} = \frac{23}{2}\]
Сумма четвертых степеней корней равна \(\frac{23}{2}\).

Таким образом, мы нашли все необходимые значения для уравнения без вычисления корней.