Нехай ми маємо три числа в геометричній прогресії, добуток яких дорівнює 64 і сума кубів цих чисел дорівнює 584

Tainstvennyy_Rycar

55

Давайте розглянемо задачу про числа в геометричній прогресії.

Нехай перше число цієї прогресії буде \(a\), а знаменник - \(r\).

За умовою задачі, ми знаємо, що добуток цих трьох чисел дорівнює 64:

\[a \cdot ar \cdot ar^2 = 64\]

Цей рівняння можна скоротити до:

\[a^3r^3 = 64 \quad \text{(1)}\]

Також, нам дано, що сума кубів цих чисел дорівнює 584:

\[a^3 + (ar)^3 + (ar^2)^3 = 584 \quad \text{(2)}\]

Тепер, ми можемо вирішити цю систему рівнянь (1) і (2) для \(a\) і \(r\).

Спочатку, розв"яжемо рівняння (1) для \(r\):

\[r^3 = \frac{64}{a^3}\]

\[r = \sqrt[3]{\frac{64}{a^3}}\]

Тепер, підставимо це значення \(r\) у рівняння (2):

\[a^3 + \left(a\sqrt[3]{\frac{64}{a^3}}\right)^3 + \left(a\sqrt[3]{\frac{64}{a^3}}\right)^6 = 584\]

Проведемо необхідні обчислення та спростимо рівняння:

\[a^3 + a^3 \left(\frac{64}{a^3}\right) + a^3 \left(\frac{64}{a^3}\right)^2 = 584\]

\[a^3 + \frac{64a^3}{a^3} + \frac{64^2a^3}{a^6} = 584\]

\[a^3 + 64 + \frac{64^2}{a^3} = 584\]

Перенесемо усі члени в одну сторону:

\[a^3 + \frac{64^2}{a^3} - 520 = 0\]

Проведемо обчислення і отримаємо:

\[a^6 - 520a^3 + 64^2 = 0\]

Тут зверніть увагу, що ми отримали квадратне рівняння для \(a^3\).

Розв"яжемо це рівняння для \(a^3\) за допомогою квадратного кореня, а потім знайдемо \(a\):

\[a^3 = \frac{-(-520) \pm \sqrt{(-520)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64^2}}{2 \cdot 1}\]

\[a^3 = \frac{520 \pm \sqrt{270400 - 16384}}{2}\]

\[a^3 = \frac{520 \pm \sqrt{254016}}{2}\]

\[a^3 = \frac{520 \pm 504}{2}\]

Тепер, розглянемо два випадки, коли приймаємо позитивне значення і коли приймаємо від"ємне значення:

1. Приймаємо позитивне значення:

\[a^3 = \frac{520 + 504}{2} = \frac{1024}{2} = 512\]

\[a = \sqrt[3]{512} = 8\]

2. Приймаємо від"ємне значення:

\[a^3 = \frac{520 - 504}{2} = \frac{16}{2} = 8\]

\[a = \sqrt[3]{8} = 2\]

Тепер, коли у нас є значення \(a\), ми можемо знайти значення \(r\):

1. З умови задачі, нам сказано, що \(r\) більше одиниці. Тому, вибираємо значення \(r\) таке, щоб \(a \cdot r > a\) (тобто більше 8)

2. Підставимо \(a = 8\) у рівняння (1):

\[8^3 \cdot r^3 = 64\]

\[512 \cdot r^3 = 64\]

\[r^3 = \frac{64}{512} = \frac{1}{8}\]

\[r = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}\]

Таким чином, перше число прогресії \(a\) дорівнює 8, а знаменник \(r\) дорівнює \(\frac{1}{2}\).

Округливши знаменник до більшого цілого значення, отримаємо, що знаменник цієї прогресії, за умови, що він більший за одиницю, дорівнює 1.