Сравнить с нулем 1) производную функции f в точке 1, где f(x) = log0.5(2+x)2; 2) производную функции f в точке

Schavel

29

Для того чтобы выполнить данную задачу, мы сравним каждую производную с нулём.

1) Производная функции \( f \) в точке \( x = 1 \), где \( f(x) = \log_{0.5}(2+x)^2 \):
Для начала, найдем производную функции \( f(x) \) по \( x \). Используем правило дифференцирования для функции \( \log_a(u) \), где \( a \) - основание логарифма:
\[ f"(x) = \frac{2}{(2+x)\ln(0.5)} \]
Теперь можем найти значение этой производной в точке \( x = 1 \):
\[ f"(1) = \frac{2}{(2+1)\ln(0.5)} = \frac{2}{3\ln(0.5)} \]
Для сравнения с нулем, рассмотрим знак данного выражения. Числитель положительный, так как 2 > 0. Делитель \( 3\ln(0.5) \) отрицательный, так как \( \ln(0.5) < 0 \), так как 0.5 находится между 0 и 1, а логарифм от числа, находящегося между 0 и 1, будет отрицательным. Таким образом, делитель является отрицательным. Деление положительного числа на отрицательное даёт отрицательный результат. То есть, \( f"(1) < 0 \). Мы можем сделать вывод, что производная функции \( f(x) \) в точке \( x = 1 \) отрицательна и не равна нулю.

2) Производная функции \( f \) в точке \( x = 4 \), где \( f(x) = 0.2^{(x-3)} \):
Аналогично предыдущему пункту, найдем производную функции \( f(x) \) по \( x \). Используем правило дифференцирования для функции \( a^u \), где \( a \) - основание степени:
\[ f"(x) = \ln(0.2) \cdot 0.2^{(x-3)} \]
Теперь можем найти значение этой производной в точке \( x = 4 \):
\[ f"(4) = \ln(0.2) \cdot 0.2^{(4-3)} = \ln(0.2) \cdot 0.2 \]
Чтобы сравнить с нулем, рассмотрим знак данного выражения. Натуральный логарифм \( \ln(0.2) \) от числа между 0 и 1 будет отрицательным. Умножение отрицательного числа на положительное даст отрицательный результат. Таким образом, \( f"(4) < 0 \). Мы можем сделать вывод, что производная функции \( f(x) \) в точке \( x = 4 \) отрицательна и не равна нулю.

Таким образом, ответ на задачу состоит в том, что производные функций \( f(x) = \log_{0.5}(2+x)^2 \) в точке \( x = 1 \) и \( f(x) = 0.2^{(x-3)} \) в точке \( x = 4 \) отрицательны и не равны нулю.